Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x2 + xy - 2y2 = 2

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình \( 3x^2 + xy - 2y^2 = 2 \), chúng ta có thể thử các giá trị nguyên khác nhau cho \( x \) và \( y \).

Tuy nhiên, một cách tiếp cận có hệ thống hơn là chuyển đổi thích hợp phương trình để tìm kiếm các nghiệm. Đầu tiên, chúng ta có thể rearrange phương trình:

\[
3x^2 + xy - 2y^2 - 2 = 0
\]

Phương trình này là một phương trình bậc hai theo \( x \).

Chúng ta có thể áp dụng công thức nghiệm bậc hai để tìm giá trị của \( x \):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, \( a = 3 \), \( b = y \), và \( c = -2y^2 - 2 \).

Các hệ số sẽ là:

\[
b^2 - 4ac = y^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2y^2 - 2) = y^2 + 24y^2 + 24 = 25y^2 + 24
\]

Vì vậy, để \( x \) có nghiệm nguyên, biểu thức \( 25y^2 + 24 \) phải là một số chính phương, tức là có thể viết dưới dạng \( k^2 \) với \( k \) là một số nguyên.

Cụ thể, chúng ta cần tìm các \( y \) sao cho \( 25y^2 + 24 = k^2 \):

\[
k^2 - 25y^2 = 24
\]

Đây chính là một phương trình Diophantine dạng Pythagorean, có thể được phân tích thêm để tìm nghiệm. Chúng ta có thể thử một vài giá trị của \( y \):

1. Với \( y = 0 \):
\[
25(0)^2 + 24 = 24 \quad (\text{không phải là chính phương})
\]

2. Với \( y = 1 \):
\[
25(1)^2 + 24 = 49 = 7^2 \quad (x = \frac{-1 \pm 7}{6} \Rightarrow x=1, -\frac{4}{3} \Rightarrow x=1 \text{ nghiệm nguyên})
\]

3. Với \( y = -1 \):
\[
25(-1)^2 + 24 = 49 = 7^2 \quad (x = \frac{1 \pm 7}{6} \Rightarrow x=1, -\frac{4}{3} \Rightarrow x=1 \text{ nghiệm nguyên})
\]

4. Với \( y = 2 \):
\[
25(2)^2 + 24 = 124 \quad (\text{không phải là chính phương})
\]

5. Với \( y = -2 \):
\[
25(-2)^2 + 24 = 124 \quad (\text{không phải là chính phương})
\]

6. Với \( y = 3 \):
\[
25(3)^2 + 24 = 225 + 24 = 249 \quad (\text{không phải là chính phương})
\]

7. Với \( y = -3 \):
\[
25(-3)^2 + 24 = 249 \quad (\text{không phải là chính phương})
\]

Từ các phép thử trên, nghiệm nguyên của phương trình \( 3x^2 + xy - 2y^2 = 2 \) là \( (x, y) = (1, 1) \) và \( (1, -1) \).

Vì vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

\[
(x, y) = (1, 1) \quad \text{và} \quad (1, -1).
\]

Tương tự, bạn có thể kiểm tra thêm những giá trị khác của \( y \) để xem có nghiệm nào khác hay không.