Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Biểu thức được cho là:

\[
A = \frac{5}{3|2x - 1| + 1}
\]

Để tìm giá trị lớn nhất của \(A\), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của mẫu số \(3|2x - 1| + 1\).

Ta có:

\[
3|2x - 1| + 1 \geq 1
\]

Chỉ đạt được giá trị này khi \( |2x - 1| = 0 \) hay \( 2x - 1 = 0 \) tức là \( x = \frac{1}{2} \).

Khi \(x = \frac{1}{2}\), thì:

\[
A = \frac{5}{1} = 5
\]

Do đó, giá trị lớn nhất của \(A\) là 5.

---

### b) Tìm \(x\) là số nguyên thoả mãn

Ta cần giải bất phương trình sau:

\[
|x - 3| + (x - 9)^2 \leq 4
\]

Đầu tiên, ta xét \( |x - 3| \):

1. **Trường hợp 1**: \( x \geq 3\)
\[
A = (x - 3) + (x - 9)^2 \leq 4
\]

Thay \( |x - 3| \) bằng \(x - 3\):

Ta có:
\[
(x - 9)^2 + x - 3 \leq 4
\]
\[
(x - 9)^2 + x - 7 \leq 0
\]

Tiến hành giải phương trình này để tìm nghiệm.

2. **Trường hợp 2**: \( x < 3 \)
\[
A = -(x - 3) + (x - 9)^2 \leq 4
\]

Thay \( |x - 3| \) bằng \(- (x - 3)\):

Tương tự, ta cũng giải bất phương trình và tìm năm giới hạn cho \(x\).

Cuối cùng, tổng hợp để tìm các giá trị \(x\) nguyên thoả mãn cả hai trường hợp.

---

### c) Xác suất bài toán trắc nghiệm

Trong bài này, nếu bạn Nam đã giải 50 bài toán, và tỉ lệ làm đúng của bạn ấy là 76%:

Số bài làm đúng được tính là:

\[
0.76 \times 50 = 38 \text{ bài}
\]

Sau đó, bạn Nam sửa lại và nếu tỉ lệ làm đúng trở thành 75%, số bài hợp lệ là:

\[
0.75 \times 50 = 37.5 \text{ bài}
\]

Vì số bài phải là số nguyên, ta lấy 37 bài.

Vậy trong số 50 bài, số bài bạn Nam đã làm đúng còn lại là 37 bài.