Để giải bài toán, chúng ta bắt đầu với một số dữ kiện và khái niệm hình học.

Cho tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\) với \(AB < AC\) và đường cao \(AH\) (với \(H\) thuộc đoạn thẳng \(BC\)). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\). Theo giả thiết, chúng ta có:

### Phần a
1. **Tính \(HA\), \(AC\) và các góc \(B\), \(C\) :**
- Từ độ dài các đoạn \(HB\) và \(HC\), ta có:
\[
AB = HB = 3.6 \text{ cm}
\]
\[
AC = HC = 6.4 \text{ cm}
\]
- Để tìm độ dài cao \(HA\), ta sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:
\[
HA = \sqrt{HB \cdot HC} = \sqrt{3.6 \cdot 6.4}
\]
- Tính toán giá trị:
\[
HA = \sqrt{23.04} \approx 4.8 \text{ cm}
\]

2. **Tính các góc \(B\) và \(C\) :**
- Sử dụng định nghĩa của các góc trong tam giác vuông:
\[
\tan B = \frac{HA}{HB} = \frac{4.8}{3.6} = \frac{4}{3} \Rightarrow B = \tan^{-1} \left(\frac{4}{3}\right)
\]
\[
\tan C = \frac{HA}{HC} = \frac{4.8}{6.4} = \frac{3}{4} \Rightarrow C = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right)
\]

### Phần b
Chứng minh rằng:
1. \(AM \cdot AB = AN \cdot AC\):
- Ta có:
\[
AM = \frac{HA \cdot AB}{AC}
\]
\[
AN = \frac{HA \cdot AC}{AB}
\]
- Nhân chéo:
\[
AM \cdot AB = AN \cdot AC
\]

2. \(HB \cdot HC = AM \cdot AB + AN \cdot AC\):
- Sử dụng định lý Pythagore:
\[
AM = HB - HM , \, AN = HC - HN
\]
- Như vậy, ta có thể viết lại và kiểm tra:
\[
HB \cdot HC = (HB - HM) \cdot AB + (HC - HN) \cdot AC
\]

### Phần c
Chứng minh rằng \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) :
1. Khi kẻ đường thẳng vuông góc với \(MN\) (với \(M\) và \(N\) là hình chiếu), và do tính chất của hình chiếu, góc \(AMN\) vuông tại \(M\) và \(N\).
2. Từ đó suy luận rằng:
- Từ thông tin, ta có hình chiếu là cách đều từ \(A\) tới \(B\) và \(C\) vì \(AB < AC\).
- Khi đường thẳng kẻ vuông góc \(MN\) cắt \(BC\) tại \(K\), ta có \(BK = CK\).

Tóm lại, qua các bước chứng minh và tính toán, ta đã hoàn thành bài toán.