Để chứng minh rằng tứ giác AMCK là hình thoi, ta tiến hành theo các bước sau:

1. **Xác định điểm và tính chất hình học**:
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \) là tọa độ các điểm của tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \).
- Điểm \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \).
- Điểm \( I \) là trung điểm của \( AC \), vì vậy \( I\left(0, \frac{c}{2}\right) \).

2. **Tìm tọa độ điểm K**:
- Vector \( \overrightarrow{IM} = \left(\frac{b}{2} - 0, \frac{c}{2} - \frac{c}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, 0\right) \).
- Tọa độ điểm \( K \) trên tia đối của \( IM \) sẽ được tính theo tỷ lệ \( IK = IM \). Do đó, \( K \) sẽ nằm ở tọa độ \( K\left(-\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \).

3. **Tính độ dài các cạnh**:
- Tính độ dài \( AM, AC, CK \):
- \( AM = \sqrt{ \left( \frac{b}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{c}{2} - 0 \right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2} \)
- \( AC = \sqrt{(0 - 0)^2 + (c - 0)^2} = c \)
- \( CK = \sqrt{(0 - (-\frac{b}{2}))^2 + (\frac{c}{2} - c)^2} = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(-\frac{c}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2} \)

4. **Chứng minh AM = CK**:
- Từ các kết quả trên, ta thấy \( AM = CK \).
- Tương tự, ta cũng có thể chứng minh rằng \( AC = MK \).

5. **Kết luận**:
- Hai cặp cạnh đối diện \( AM \) và \( CK \) bằng nhau, \( AC \) và \( MK \) bằng nhau.
- Vì vậy, tứ giác AMCK là hình thoi.

Như vậy, ta đã chứng minh được tứ giác AMCK là hình thoi.