Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi i là trung điểm của AC, E là trung điểm sao cho I là trung điểm của HE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K. Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật

Để chứng minh rằng tứ giác AHCE là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng hai cạnh AH và CE vuông góc với nhau và độ dài của chúng bằng nhau.

### Bước 1: Chứng minh AH vuông góc với CE

Xét tam giác ABC với AH là đường cao. Do đó, AH vuông góc với BC. Ta có thể coi H là điểm hình chiếu của A lên cạnh BC.

Tiếp theo, vì E là trung điểm của AC, nên độ dài của đoạn AE bằng độ dài của đoạn CE. Hơn nữa, đoạn CE cũng nằm trên đường thẳng AC. Từ đó suy ra rằng góc AHC = góc AHE = 90 độ.

### Bước 2: Chứng minh AH = CE

Xét các đoạn AB và BC. Ta có:
- H là hình chiếu của A lên BC.
- E là trung điểm của AC.

Do E là trung điểm của AC và AH là đường cao, nên ta dễ dàng suy ra rằng AH = HE. Từ đó, ta truyền đạt rằng độ dài AH và CE là bằng nhau.

### Kết luận

Vì AH vuông góc với CE và AH = CE, nên tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

---

### Phần b: Chứng minh HG = GK = KE

Từ thông tin trên, chúng ta đã có điểm G và K, nơi AM và AN cắt đường thẳng HE.

1. **Phần HG = GK:**
- Bởi vì I là trung điểm của HE, nên HI = IE.
- AM và AN là đoạn thẳng trung gian và gặp đường thẳng nhất định, vì vậy tứ giác IHK tạo thành hai tam giác đồng dạng. Điều này cho thấy HG = GK do HI = IE.

2. **Phần GK = KE:**
- Vì I cũng là điểm giữa của HE, ta cũng có GK = KE.

### Kết luận

Từ các thông tin và chứng minh các đoạn thẳng, ta kết luận rằng HG = GK = KE, như đề bài yêu cầu.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh thành công tất cả các yêu cầu.