Chứng minh tam giác AOB; COD cân. AD cắt BC tại E; chứng minh:oe là trung trực AB; CD

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một theo yêu cầu.

### a) Chứng minh tam giác AOB, COD cân.

Giả sử O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình thang cân ABCD với AB // CD.

1. Do hình thang ABCD là hình thang cân, nên hai góc ở hai đáy là bằng nhau:
\[
\angle AOB = \angle COD
\]
2. Hai đoạn AO và OC là cặp đường chéo của hình thang, và vì các đường chéo của hình thang cân tạo thành hai tam giác có các cạnh đối tương ứng bằng nhau, ta có:
\[
AB = CD
\]
3. Do đó, trong tam giác AOB và COD, chúng ta có:
- \(\angle OAB = \angle OCD\)
- \(AB = CD\)

Vậy có:
\[
\triangle AOB \cong \triangle COD
\]
Suy ra:
\[
\triangle AOB \text{ và } \triangle COD \text{ là tam giác cân.}
\]

### b) AD cắt BC tại E; chứng minh OE là trung trực của AB, CD.

Để chứng minh OE là trung trực của AB và CD, ta cần chứng minh rằng OE là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và CD và vuông góc với AB và CD.

1. Do O là giao điểm của đường chéo AC và BD, nên O là trung điểm của AB và CD, vì hai đường chéo của hình thang cắt nhau, và ta có:
\[
AO = OB \quad \text{ và } \quad CO = OD
\]
2. Từ đó, chúng ta có:
\[
\angle AOE = \angle BOE = 90^\circ \quad \text{(bởi vì O là giao điểm đường chéo)}
\]
3. Do đó, OE là đường thẳng vuông góc với AB và CD, và đi qua trung điểm của AB, CD.

Do đó, ta có thể kết luận:
\[
OE \text{ là trung trực của } AB \text{ và } CD.
\]

### c) AH, BK vuông góc với CD, M, N là trung điểm của AD, BC; chứng minh HMNK là hình thang cân.

1. Biết rằng AH và BK vuông góc với CD, điều này có nghĩa là AH ∥ BK.
2. M và N là trung điểm của AD và BC, do đó:
\[
AM = MD \quad \text{ và } \quad BN = NC.
\]
3. Ta cũng có hai đoạn thẳng AM và BN song song với CD, vì O nằm trên AD và BC, và O là trung điểm của AB và CD (từ phần b).
4. Xem xét tam giác HMN và KN. Do M, N là trung điểm của AD, BC và AH, BK vuông góc với CD:
\[
HM = KN
\]
- Vì HM ∥ KN.
5. Vậy ta có:
\[
HM = KN, \quad \text{cũng như } AD // BC
\]

Vậy HMNK là một hình thang cân với hai cạnh đáy song song (HM, KN) và hai cạnh bên bằng nhau.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng:
\[
HMNK \text{ là hình thang cân.}
\]

Hy vọng rằng phần hướng dẫn này giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!