Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x − 2 thì dư 2, f(x) cho x2 – 5x + 6 thì được thương là 1 – x² và còn dư

Để tìm đa thức \( f(x) \), chúng ta sẽ sử dụng thông tin đã cho.

1. **Dư khi chia cho \( x - 2 \)**:
- Theo định lý phần dư, nếu \( f(x) \) chia cho \( x - 2 \) thì dư là \( f(2) \).
- Ta có \( f(2) = 2 \).

2. **Thương khi chia cho \( x^2 - 5x + 6 \)**:
- Ta có \( x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \).
- Theo thông tin đề bài, khi chia \( f(x) \) cho \( x^2 - 5x + 6 \) thì thương là \( 1 - x^2 \) và còn dư.

Gọi \( f(x) = (x^2 - 5x + 6)(1 - x^2) + r(x) \), trong đó \( r(x) \) là phần dư khi chia, có thể là bậc nhỏ hơn bậc của \( x^2 - 5x + 6 \) (tức là bậc nhỏ hơn 2). Vậy \( r(x) \) có dạng:
\[
r(x) = ax + b
\]

Kết hợp lại ta có:
\[
f(x) = (x^2 - 5x + 6)(1 - x^2) + ax + b
\]

3. **Tính toán \( f(x) \)**:
\[
f(x) = (x^2 - 5x + 6)(1 - x^2) + ax + b
\]
\[
= (x^2 - 5x + 6)(1 - x^2)
\]
\[
= (x^2 - 5x + 6) - (x^4 - 5x^3 + 6x^2)
\]
\[
= -x^4 + 5x^3 + (1 - 6)x^2 + 5x + 6
\]
\[
= -x^4 + 5x^3 - 5x^2 + 5x + 6
\]
Rồi cộng thêm \( ax + b \):
\[
f(x) = -x^4 + 5x^3 - 5x^2 + (5 + a)x + (6 + b)
\]

4. **Áp dụng điều kiện \( f(2) = 2 \)**:
\[
f(2) = -2^4 + 5 \cdot 2^3 - 5 \cdot 2^2 + (5 + a) \cdot 2 + (6 + b) = 2
\]
Tính từng thành phần:
\[
= -16 + 40 - 20 + (10 + 2a) + (6 + b)
\]
\[
= 10 + 2a + b
\]

Đặt bằng 2:
\[
10 + 2a + b = 2
\]
\[
2a + b = -8 \quad (1)
\]

5. **Xét phần dư \( r(x) \)** khi chia cho \( x - 2 \):
- \( r(2) = 2a + b \), ta đã có \( 2a + b = -8 \).

Từ đây, ta có đường thẳng \( b = -8 - 2a \).

Như vậy, ta đã xác định được một số điều kiện. Tuy nhiên, chúng ta cần thêm một thông tin để có thể tìm chính xác giá trị của \( a \) và \( b \).

Nếu bạn có thêm thông tin về \( f(x) \) hoặc một thông tin bổ sung nào đó, hãy chia sẻ, mình sẽ hỗ trợ thêm thôi.