Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(−1; 3), B(4; 2), C(3; 5)

Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng nếu và chỉ nếu diện tích của tam giác ABC khác 0. Diện tích S của tam giác ABC được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]

Với \(A(-1, 3)\), \(B(4, 2)\), \(C(3, 5)\):

- \(x_1 = -1, y_1 = 3\)
- \(x_2 = 4, y_2 = 2\)
- \(x_3 = 3, y_3 = 5\)

Thay vào công thức trên:

\[
S = \frac{1}{2} \left| -1(2 - 5) + 4(5 - 3) + 3(3 - 2) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| -1 \cdot (-3) + 4 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 3 + 8 + 3 \right| = \frac{1}{2} \left| 14 \right| = 7
\]

Do đó, S ≠ 0, tức là ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

### b) Tìm tọa độ điểm D sao cho \(\overrightarrow{AD} = -3\overrightarrow{BC}\)

Tìm vector \(\overrightarrow{BC}\):

\[
\overrightarrow{BC} = (3 - 4, 5 - 2) = (-1, 3)
\]

Do đó:

\[
-3\overrightarrow{BC} = -3(-1, 3) = (3, -9)
\]

Suy ra:

\[
\overrightarrow{AD} = (3, -9) \implies D = A + \overrightarrow{AD} = (-1 + 3, 3 - 9) = (2, -6)
\]

### c) Tìm tọa độ điểm E sao cho O là trọng tâm của tam giác ABE.

Trọng tâm G của tam giác ABE được tính bằng:

\[
G = \left( \frac{x_A + x_B + x_E}{3}, \frac{y_A + y_B + y_E}{3} \right)
\]

Ta biết \(G = O(0, 0)\):

\[
\frac{-1 + 4 + x_E}{3} = 0 \quad \text{và} \quad \frac{3 + 2 + y_E}{3} = 0
\]

Giải phương trình đầu tiên:

\[
-1 + 4 + x_E = 0 \implies x_E = -3
\]

Giải phương trình thứ hai:

\[
3 + 2 + y_E = 0 \implies y_E = -5
\]

Vậy tọa độ điểm E là \((-3, -5)\).

### Kết quả cuối cùng:
- a) Ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
- b) Tọa độ điểm D là \((2, -6)\).
- c) Tọa độ điểm E là \((-3, -5)\).