Để giải bài toán, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước theo yêu cầu.

### a) Tính AB

Sử dụng định lý cosin trong tam giác \(ABC\):

\[
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)
\]

Trong đó:
- \(AC = 8\)
- \(BC = 6\)
- \(\angle ACB = 120^\circ\)

Biết rằng \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\), ta có:

\[
AB^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
\]
\[
AB^2 = 64 + 36 + 48
\]
\[
AB^2 = 148
\]
\[
AB = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}
\]

### b) Lấy M là trung điểm của AB. Tính MC

Khi \(M\) là trung điểm của \(AB\), theo định lý trung điểm trong tam giác, ta có:

\[
MC = \frac{1}{2} AC
\]

Ta đã tính được \(AC = 8\), do đó:

\[
MC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4
\]

### c) Tính diện tích tam giác ABC

Diện tích của tam giác có thể tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB)
\]

Trong đó:

- \(\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Vậy diện tích là:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}
\]

### d) Lấy điểm N bất kỳ trên AC sao cho AN + BN = 10. Tính diện tích tam giác ABN

Giả sử \(AN = x\) và \(NC = 8 - x\), ta cần đảm bảo rằng:

\[
AN + BN = 10 \implies x + BN = 10 \implies BN = 10 - x
\]

Diện tích tam giác \(ABN\) được tính bằng công thức:

\[
S_{ABN} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AN \cdot \sin(\angle ACB
\]

Ta đã tính được \(AB = 2\sqrt{37}\). Diện tích sẽ là:

\[
S_{ABN} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{37} \cdot x \cdot \sin(120^\circ)
\]
\[
S_{ABN} = \sqrt{37} \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Kết luận, từ điều kiện \(AN + BN = 10\), ta sẽ có một bậc tự do để điều chỉnh \(x\) sao cho thích ứng với điều kiện mà \(0 < x < 8\). Diện tích tam giác phụ thuộc vào giá trị \(x\), do đó:

\[
S_{ABN} = \frac{\sqrt{3\cdot 37}}{2} \cdot x
\]

Do đó, ta có diện tích tam giác \(ABN\) là:

\[
S_{ABN} = \frac{\sqrt{111}}{2} \cdot x
\]

Trong đó, \(0 < x < 8\) là chiều dài \(AN\) và mọi giá trị \(x\) sẽ giữ cho \(AN + BN = 10\) đáp ứng yêu cầu đề bài.