Để tìm độ dài của AH và HC trong tam giác ABC với AB = 12 cm, góc B = 40° và góc C = 30°, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính độ dài cạnh AC

Theo định lý tổng góc trong tam giác, ta tính được góc A:
\[
A = 180° - B - C = 180° - 40° - 30° = 110°
\]

Sử dụng định luật sin:
\[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}
\]
\[
\frac{12}{\sin 30°} = \frac{AC}{\sin 40°}
\]
\[
\frac{12}{0.5} = \frac{AC}{\sin 40°}
\]
\[
24 = \frac{AC}{\sin 40°}
\]
\[
AC = 24 \cdot \sin 40°
\]
Tính giá trị của \( \sin 40° \) để tìm AC.

### Bước 2: Tính độ dài đường cao AH

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A
\]
Hoặc:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH
\]

Giải từ 2 phương trình này để tìm AH:
\[
\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A
\]
Hay:
\[
AH = AC \cdot \frac{\sin A}{AB}
\]

### Bước 3: Tính độ dài HC

Do AH là đường cao từ A xuống cạnh BC, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC hoặc theo tỉ lệ trong tam giác để tìm HC.

\[
HC = AC \cdot \frac{AB \cdot \sin B}{AC}
\]

Tóm lại, các công thức trên sẽ cho phép bạn tính AH và HC một cách lần lượt. Bạn có thể sử dụng máy tính để lấy giá trị cụ thể cho sin các góc và sau đó thực hiện các phép toán.