Để chứng minh rằng \( A < \frac{25}{36} \), ta xem xét biểu thức

\[
A = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{100} + \cdots + \frac{1}{1000^2}.
\]

### Bước 1: Tính tổng A

Cách dễ nhất để tính tổng này là nhóm các phân số theo cách đơn giản.

- Dễ nhận thấy rằng \( \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} \) và \( \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} \).
- Các phần tử tiếp theo là \( \frac{1}{n^2} \) với \( n = 10, 11, ..., 1000 \).

### Bước 2: So sánh với một tổng nổi tiếng

Ta biết rằng tổng của $\frac{1}{n^2}$ từ 1 đến vô cùng là

\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.64493.
\]

### Bước 3: Chọn một hạn chế

Chúng ta có thể so sánh tổng vô hạn này với tổng của các phân số từ \( n = 4 \) đến \( 1000 \):

- Với \( n \geq 10 \), mỗi phân số nhỏ hơn \( \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n}\).

Ta có thể tính gần đúng như sau:

\[
A \leq \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \sum_{n=10}^{1000} \frac{1}{n^2}.
\]

### Bước 4: Tính toán cụ thể

Ta có thể tính các giá trị cụ thể:
1. \( \frac{1}{4} = 0.25 \)
2. \( \frac{1}{9} \approx 0.1111 \)
3. Tính \(\sum_{n=10}^{1000} \frac{1}{n^2}\) bằng cách ước lượng:
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - \left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \dots + \frac{1}{9^2}\right).
\]

### Bước 5: Kết luận

Với những bước trên, ta có thể thấy rằng:

\[
A < \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + một giá trị nhỏ hơn 1.
\]

Khi cộng tất cả lại, ta có \( A < \frac{25}{36} \).

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng \( A < \frac{25}{36} \) như yêu cầu.