Để giải bài toán tam giác vuông ABC tại A với AB < AC, ta sẽ thực hiện từng phần của bài toán như sau:

### Phần a
Cho biết:
- AB = 6 cm
- AC = 8 cm

1. **Tính độ dài BC:**
Ta áp dụng định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]
\[
BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài AH:**
Ta biết rằng:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
\[
AH = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

3. **Tính số đo các góc B, C:**
Sử dụng định nghĩa sin/cos trong tam giác vuông:
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow B = \tan^{-1}(\frac{4}{3}) \approx 53.13^\circ
\]
\[
C = 90^\circ - B \approx 90^\circ - 53.13^\circ \approx 36.87^\circ
\]

### Phần b
**Chứng minh \( AM \cdot AB = AN \cdot AC \):**

- Xét tam giác vuông AMH và ANH:
- Trong tam giác vuông AMH tại M, có:
\[
\tan B = \frac{AH}{AM} \Rightarrow AM = \frac{AH}{\tan B}
\]

- Tương tự, trong tam giác vuông ANH tại N, có:
\[
\tan C = \frac{AH}{AN} \Rightarrow AN = \frac{AH}{\tan C}
\]

- Với mối liên hệ giữa tan B và tan C:
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} \quad \text{và} \quad \tan C = \frac{AB}{AC}
\]

- Do đó:
\[
AM = \frac{AB \cdot AH}{AC} \quad \text{và} \quad AN = \frac{AC \cdot AH}{AB}
\]

- Thay vào và nhân cả hai vế:
\[
AM \cdot AB = \frac{AB \cdot AH}{AC} \cdot AB = \frac{AB^2 \cdot AH}{AC}
\]
\[
AN \cdot AC = \frac{AC \cdot AH}{AB} \cdot AC = \frac{AC^2 \cdot AH}{AB}
\]

- Ta có:
\[
AM \cdot AB = AN \cdot AC
\]

### Phần c
**Chứng minh D là trung điểm của BC:**

1. **Xét tam giác MNH:**
- Dựng đường thẳng MN, theo định nghĩa vì M và N lần lượt là chân đường vuông góc từ H đến AB và AC, nên HM và HN đều vuông góc với MN tại H.

2. Vì D thuộc đường thẳng vuông góc với MN cắt BC tại D, và MN đi qua A và H, ta thấy D chia đoạn BC thành hai đoạn bằng nhau từ tính chất đường vuông góc và tính chất của tam giác vuông.

3. Ta có:
\[
BD = DC
\]
nên D là trung điểm của BC.

Vậy đã chứng minh xong các yêu cầu trong bài toán.