Để tính \( AH^2 \), chúng ta cần xác định vị trí của điểm H, chân đường cao kề từ A đến cạnh BC.

1. **Tính vector AB, AC**:
- \( A(3; 1; -3) \)
- \( B(0; -2; 5) \)
- \( C(1; 1; 3) \)

Tính vector:
\[
\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 3, -2 - 1, 5 + 3) = (-3, -3, 8)
\]
\[
\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 3, 1 - 1, 3 + 3) = (-2, 0, 6)
\]

2. **Tính vector BC**:
\[
\overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 0, 1 + 2, 3 - 5) = (1, 3, -2)
\]

3. **Tính mặt phẳng chứa cạnh BC** bằng cách dùng vector BC và vector AB. Để xác định phương trình mặt phẳng, ta cần một vector pháp tuyến, có thể tính bằng tích có hướng của hai vector BC và AB:

\[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{AB}
\]

Tính tích có hướng:
\[
\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
1 & 3 & -2 \\
-3 & -3 & 8
\end{vmatrix}
= \hat{i}(3 \cdot 8 - (-2)(-3)) - \hat{j}(1 \cdot 8 - (-2)(-3)) + \hat{k}(1 \cdot (-3) - 3 \cdot (-3))
\]
\[
= \hat{i}(24 - 6) - \hat{j}(8 - 6) + \hat{k}(-3 + 9) = 18\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}
\]

Vậy vector pháp tuyến là \( (18, -2, 6) \) và phương trình mặt phẳng là:
\[
18(x - 0) - 2(y + 2) + 6(z - 5) = 0
\]
Rút gọn phương trình này.

4. **Sử dụng chiều cao**:
Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BC, khoảng cách được tính bằng công thức:

\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]

Trong đó \( (x_0, y_0, z_0) \) là tọa độ của A, và \( A, B, C, D \) là hệ số của mặt phẳng.

5. **Tính \( AH^2 \)**:
Cuối cùng để tính \( AH^2 \), ta chỉ cần bình phương khoảng cách \( d \).

Tính toán cụ thể sẽ cho ra giá trị cuối cùng \( AH^2 \).