Để chứng minh bất đẳng thức \(\sqrt{3 - 4x + \sqrt{1 + 4x}} \geq 2\) trong khoảng \(-\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{3}{4}\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Biến đổi biểu thức:**

Ta chuyển bất đẳng thức thành dạng:
\[
\sqrt{3 - 4x + \sqrt{1 + 4x}} \geq 2
\]
Bình phương cả hai vế (chú ý điều kiện không làm thay đổi dấu của bất đẳng thức vì các biểu thức đều không âm):
\[
3 - 4x + \sqrt{1 + 4x} \geq 4
\]
Sau đó, ta có:
\[
\sqrt{1 + 4x} \geq 4x + 1
\]

2. **Bình phương tiếp:**

Bình phương tiếp:
\[
1 + 4x \geq (4x + 1)^2
\]
Phát triển vế phải:
\[
1 + 4x \geq 16x^2 + 8x + 1
\]
Rút gọn:
\[
0 \geq 16x^2 + 4x
\]
Hay:
\[
0 \geq 4x(4x + 1)
\]

3. **Xét dấu của biểu thức:**
Biểu thức \(4x(4x + 1) \leq 0\) có nghiệm tại \(x = 0\) và \(x = -\frac{1}{4}\).

4. **Kiểm tra các khoảng:**
- Khi \(x < -\frac{1}{4}\), \(4x < 0\) và \(4x + 1 < 0\) → tích dương.
- Khi \(-\frac{1}{4} \leq x \leq 0\), \(4x \leq 0\) và \(4x + 1 \geq 0\) → tích âm hoặc bằng 0.
- Khi \(0 < x \leq \frac{3}{4}\), cả hai nhân tử đều dương → tích dương.

Kết luận, \(4x(4x + 1) \leq 0\) đúng cho mọi \(x\) trong khoảng \(-\frac{1}{4} \leq x \leq 0\).

5. **Chứng minh cuối cùng cho các giá trị tận cùng:**

Tại \(x = -\frac{1}{4}\):
\[
\sqrt{3 - 4(-\frac{1}{4}) + \sqrt{1 + 4(-\frac{1}{4})}} = \sqrt{3 + 1 + 0} = \sqrt{4} = 2.
\]
Tại \(x = 0\):
\[
\sqrt{3 - 4(0) + \sqrt{1 + 0}} = \sqrt{3 + 0 + 1} = \sqrt{4} = 2.
\]
Tại \(x = \frac{3}{4}\):
\[
\sqrt{3 - 4(\frac{3}{4}) + \sqrt{1 + 3}} = \sqrt{3 - 3 + 2} = \sqrt{2} < 2.
\]

Do đó, bất đẳng thức \(\sqrt{3 - 4x + \sqrt{1 + 4x}} \geq 2\) là đúng cho \(x\) từ \(-\frac{1}{4}\) đến \(0\).

Kết luận, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
\sqrt{3 - 4x + \sqrt{1 + 4x}} \geq 2 \quad \text{cho} \quad -\frac{1}{4} \leq x \leq 0.
\]