Để chứng minh \( B = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{120} \) chia hết cho 3, ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số học.

### Bước 1: Tính tổng

B là tổng của một cấp số hình học. Tổng của một cấp số hình học có dạng:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu,
- \( r \) là tỷ số,
- \( n \) là số hạng.

Ở đây:
- \( a = 3 \),
- \( r = 3 \),
- \( n = 120 \).

Do đó, tổng \( B \) có thể được tính như sau:

\[
B = 3 \frac{3^{120} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{121} - 3}{2}
\]

### Bước 2: Chứng minh B chia hết cho 3

Ta có biểu thức \( B = \frac{3^{121} - 3}{2} \).

Xét \( 3^{121} - 3 \):
- \( 3^{121} \equiv 0 \mod 3 \)
- Do đó, \( 3^{121} - 3 \equiv 0 - 0 \equiv 0 \mod 3 \).

Suy ra \( 3^{121} - 3 \) chia hết cho 3.

Vì vậy, \( \frac{3^{121} - 3}{2} \) cũng chia hết cho 3 (vì chia cho 2 không ảnh hưởng đến tính chia hết cho 3).

### Kết luận

Do đó, \( B \) chia hết cho 3.

---

### Chứng minh B chia hết cho 4:

Làm tương tự với \( B = \frac{3^{121} - 3}{2} \):

- Xét \( 3^{121} \mod 4 \):
- Ta biết rằng \( 3 \equiv -1 \mod 4 \).
- Suy ra \( 3^{121} \equiv (-1)^{121} \equiv -1 \equiv 3 \mod 4 \).

Vậy \( 3^{121} - 3 \equiv 3 - 3 \equiv 0 \mod 4 \).

Do đó, \( \frac{3^{121} - 3}{2} \) chia thường xuyên cho 4.

### Kết luận

Vậy \( B \) cũng chia hết cho 4.

---

### Chứng minh B chia hết cho 13:

Xét \( 3^{121} \mod 13 \):
- Ta sử dụng định lý Fermat, \( 3^{12} \equiv 1 \mod 13 \) (vì 12 là \( 13 - 1 \)).
- Do đó \( 3^{120} \equiv 1 \mod 13 \).
- Suy ra \( 3^{121} \equiv 3 \mod 13 \).

Khi đó:
\[
3^{121} - 3 \equiv 3 - 3 \equiv 0 \mod 13
\]

Do đó, \( B = \frac{3^{121} - 3}{2} \) cũng chia hết cho 13.

### Kết luận

Tóm lại, \( B \) chia hết cho 3, 4 và 13.