Về x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn 1 ≤ y ≤ 2 và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
M = \frac{x^2 + 4}{y^2 + 1}
\]

với điều kiện \(1 \leq y \leq 2\), ta có thể phân tích từng phần của biểu thức.

### Bước 1: Phân tích biểu thức

Biểu thức \(M\) có dạng phân số, với

- Tử số: \(x^2 + 4\) (đây là một biểu thức không âm vì \(x^2 \geq 0\))
- Mẫu số: \(y^2 + 1\) (cũng luôn dương vì \(y^2 \geq 0\))

### Bước 2: Xét giá trị của y

Xét mẫu số trong khoảng giá trị của \(y\):

1. Với \(y = 1\):
\[
M = \frac{x^2 + 4}{1^2 + 1} = \frac{x^2 + 4}{2}
\]

2. Với \(y = 2\):
\[
M = \frac{x^2 + 4}{2^2 + 1} = \frac{x^2 + 4}{5}
\]

### Bước 3: So sánh các biểu thức

Ta cần xác định trong hai trường hợp này, trường hợp nào cho giá trị tối thiểu. So sánh hai biểu thức:

\(
\frac{x^2 + 4}{2} \text{ và } \frac{x^2 + 4}{5}
\)

### Bước 4: Phân tích khi x thay đổi

Biểu thức có chung tử số \(x^2 + 4\), do đó việc so sánh này phụ thuộc vào hệ số \(\frac{1}{2}\) và \(\frac{1}{5}\). Dễ nhận thấy rằng \(\frac{1}{5} < \frac{1}{2}\), vì vậy cho cùng một giá trị của \(x\), \(M\) sẽ nhỏ hơn khi \(y = 2\).

### Bước 5: Tính giá trị nhỏ nhất của M

Ta sẽ cần tối thiểu hóa \(M\) với \(y=2\). Xét khi \(y=2\):

\[
M = \frac{x^2 + 4}{5}
\]

Vì \(x^2\) là không âm, giá trị nhỏ nhất của \(x^2\) là \(0\) khi \(x=0\).

Thay vào biểu thức:

\[
M = \frac{0 + 4}{5} = \frac{4}{5}
\]

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của \(M\) là:

\[
\frac{4}{5}
\]

Xảy ra khi \(x = 0\) và \(y = 2\).