Với x y là các số thực thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = \frac{x^2 + 4}{y^2 + 1} \) với điều kiện \( 1 \leq y \leq 2 \), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Xác định vùng biến**: Xem xét giá trị của \( y \) trong khoảng từ 1 đến 2.
2. **Tìm giá trị của biểu thức**:
- Cố định \( y \) và tìm \( x^2 \) sao cho \( M \) đạt giá trị nhỏ nhất.
- Do \( M \) phụ thuộc vào \( x^2 \), ta nhận thấy rằng \( x^2 \) không bị ràng buộc, tức là \( x \) có thể nhận bất kỳ giá trị nào.

3. **Phân tích**: Biểu thức có thể được đơn giản hóa dựa trên \( y \):
\[
M = \frac{x^2}{y^2 + 1} + \frac{4}{y^2 + 1}
\]
- Khi \( y \) có giá trị lớn nhất trong khoảng \( [1, 2] \), tức là \( y=2 \), thì \( y^2 + 1 = 5 \).
- Khi \( y \) có giá trị nhỏ nhất, tức là \( y=1 \), thì \( y^2 + 1 = 2 \).

4. **Tính giá trị giới hạn**:
- Với \( y = 1 \):
\[
M = \frac{x^2 + 4}{2}
\]
- Với \( y = 2 \):
\[
M = \frac{x^2 + 4}{5}
\]

5. **Tối ưu với \( y = 1 \)** hoặc \( y = 2 \):
- Nhận thấy rằng biểu thức phụ thuộc vào \( \frac{4}{y^2 + 1} \) là không thay đổi và có giá trị là 2 cho \( y=1 \) và 0.8 cho \( y=2 \).

Vậy:
- Giá trị tối thiểu của \( M \) đạt được tại \( y = 2 \) với \( x^2 = 0 \):
\[
M_{min} = \frac{4}{5} = 0.8
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 0.8 \).