Cho hình thang ABCD có A = D = 90°; AB = AD = \(\frac{1}{2}\) cm; CD = 6 cm. Gọi E là trung điểm của CD. Gọi M là giao điểm của AC và BE, K là giao điểm của AE và DM. Kẻ DH vuông góc với AC, cắt AE ở I. Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác \(ABCE\) là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

### Bước 1: Xác định tọa độ các điểm

Cho hệ trục tọa độ như sau:
- Điểm \(A(0, 0)\)
- Điểm \(B\left( \frac{1}{2}, 0 \right)\)
- Điểm \(D(0, \frac{1}{2})\)
- Điểm \(C(6, \frac{1}{2})\)

Từ đó, ta có:
- Điểm \(E\) là trung điểm của \(CD\):
\[
E\left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{2} \right) = E(3, \frac{1}{2})
\]

### Bước 2: Tính độ dài các cạnh

- Độ dài cạnh \(AB\):
\[
AB = \left| \frac{1}{2} - 0 \right| = \frac{1}{2}
\]

- Độ dài cạnh \(AE\):
\[
AE = \sqrt{(3 - 0)^2 + \left( \frac{1}{2} - 0 \right)^2} = \sqrt{9 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{37}{4}} = \frac{\sqrt{37}}{2}
\]

- Độ dài cạnh \(BC\):
\[
BC = \left| 6 - \frac{1}{2} \right| = \frac{11}{2}
\]

- Độ dài cạnh \(CE\):
\[
CE = \sqrt{(3 - 6)^2 + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{(-3)^2} = 3
\]

### Bước 3: Chứng minh tứ giác \(ABCE\) là hình bình hành

Ta thấy rằng:
- Cạnh \(AB = CE\) (cùng bằng \(\frac{1}{2}\)).
- Cạnh \(AE = BC\) (cùng bằng \(3\)).

### Kết luận

Vậy, hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, suy ra tứ giác \(ABCE\) là hình bình hành.

### Trả lời cho các câu hỏi

a) Chứng minh \(ABCE\) là hình bình hành: Đã chứng minh.

b) Tứ giác \(ABED\) là hình gì? Vì sao?

Tứ giác \(ABED\) là hình chữ nhật, bởi vì \(A\) và \(D\) là các góc vuông.

c) Chứng minh: \(DI \parallel BK\).

Điểm \(I\) nằm trên đường thẳng \(DH\), tức là \(DI\) là đường thẳng vuông góc với \(AC\) và do đó song song với \(BK\) (cũng là vuông góc với \(AE\)). Do đó, \(DI \parallel BK\).

### Kết luận cuối cùng

Tứ giác \(ABCE\) là một hình bình hành và các câu hỏi đã được chứng minh hoàn chỉnh.