Để giải bài toán, chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### Phần a: Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất

Biểu thức A được cho là:
\[ A = |x - \frac{2}{3}| - 4 \]

Giá trị của hàm giá trị tuyệt đối \(|x - \frac{2}{3}|\) là không âm, tức là \(|x - \frac{2}{3}| \geq 0\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của A sẽ xảy ra khi \(|x - \frac{2}{3}| = 0\).

Giải điều kiện này:
\[ |x - \frac{2}{3}| = 0 \Rightarrow x - \frac{2}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \]

Tại \(x = \frac{2}{3}\):
\[ A = | \frac{2}{3} - \frac{2}{3}| - 4 = 0 - 4 = -4 \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là \(-4\) và xảy ra tại \(x = \frac{2}{3}\).

### Phần b: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B

Biểu thức B được cho là:
\[ B = 2 - |x + \frac{5}{6}| \]

Giá trị của hàm giá trị tuyệt đối \(|x + \frac{5}{6}|\) cũng là không âm, tức là \(|x + \frac{5}{6}| \geq 0\). Do đó, để B đạt giá trị lớn nhất, ta cần tối thiểu hóa giá trị của \(|x + \frac{5}{6}|\).

Giá trị nhỏ nhất của \(|x + \frac{5}{6}|\) cũng là 0. Điều này xảy ra khi:
\[ x + \frac{5}{6} = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{6} \]

Tại \(x = -\frac{5}{6}\):
\[ B = 2 - |-\frac{5}{6} + \frac{5}{6}| = 2 - 0 = 2 \]

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là \(2\) và đạt được khi \(x = -\frac{5}{6}\).

### Tóm lại:
- Giá trị nhỏ nhất của A là \(-4\) tại \(x = \frac{2}{3}\).
- Giá trị lớn nhất của B là \(2\) tại \(x = -\frac{5}{6}\).