Để chứng minh rằng đường thẳng \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( M \), ta sẽ làm như sau:

1. **Phân tích hình học:**
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn \( (O) \) và \( I \) là điểm nằm ngoài đường tròn.
- Gọi \( K \) là trung điểm của đoạn thẳng \( IO \). Như vậy, \( K \) là tâm của đường tròn đi qua hai điểm \( I \) và \( O \) nên đường kính của đường tròn này là \( IO \).
- Đường tròn có tâm \( K \) và đường kính \( IO \) có bán kính là \( \frac{1}{2}IO \).

2. **Xét tam giác \( IKM \):**
- Theo định nghĩa, \( M \) là giao điểm của đường tròn tâm \( K \) với đường kính \( IO \) và đường tròn \( (O) \).
- Do đường tròn \( (O) \) có tâm là \( O \), nên đoạn thẳng \( OM \) là bán kính và \( MO \) vuông góc với tiếp tuyến tại \( M \).

3. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông:**
- Ta sẽ chứng minh rằng đoạn thẳng \( IM \) vuông góc với \( OM \). Để làm điều này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( M \).

4. **Chứng minh:**
- Xét góc \( IAM \). Ta biết rằng đoạn thẳng \( IK \) đi qua điểm \( K \) là trung điểm của \( IO \).
- Do đó, \( IK \) là bán kính của đường tròn với bán kính là \( \frac{1}{2} IO \), và vuông góc với \( IM \).
- Với \( IM \) là tiếp tuyến, suy ra góc \( OIM = 90^\circ \).

5. **Kết luận:**
- Từ các yếu tố trên, chúng ta có \( IM \) vuông góc với \( OM \) tại điểm \( M \), tức là \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( M \).

Như vậy, đường thẳng \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( M \). Chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh yêu cầu đề bài.