Cho tam giác ABC cân tại A, trên tia đối của tia ab lấy điểm D trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AD= AE

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu từ các giả thiết đã cho và tiến hành chứng minh từng phần theo các bước logic.

**Giả sử:**
- Tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \) (tức là \( AB = AC \)).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- \( D \) là điểm trên tia đối của \( AB \) sao cho \( AD = AE \).

**a) Chứng minh \( \triangle AMB = \triangle AMC \)**

Từ giả thiết, \( AD = AE \) và \( AB = AC \). Xét hai tam giác \( AMB \) và \( AMC \):
- Chúng có chung cạnh \( AM \).
- \( AB = AC \) (do tam giác cân).
- Sử dụng độ dài \( AD = AE \) ta cũng có: \( MB = MC \) (M là trung điểm của BC).

Vì vậy, theo điều kiện \( SSS \) (cạnh-cạnh-cạnh), ta có:
\[
\triangle AMB \cong \triangle AMC
\]

---

**b) Chứng minh \( AB \perp BC \)**

Từ hai tam giác đồng dạng \( AMB \) và \( AMC \):
- Ta có \( AB = AC \) và \( AB \perp BC \) nếu \( \angle AMB = \angle AMC \).
- Trong tam giác cân, cạnh \( AM \) vuông góc với \( BC \) tại \( M \).
- Nếu \( A \) nằm trên đường cao từ \( M \) xuống \( BC \), thì \( AB \perp BC \).

---

**c) Chứng minh \( \triangle AMB = \triangle ABD \)**

Xuất phát từ tam giác đã chứng minh ở mục a:
- Ta đã có rằng \( AM = AM \) (chung cạnh).
- \( AB = AD \) (bởi giả thiết \( AD = AE \) và đường thẳng \( A \) vuông góc với \( BC \)).
- \( BM = BD \) (dáng của chúng).

Vì vậy, ta có:
\[
\triangle AMB \cong \triangle ABD
\]

---

**d) Chứng minh \( AB \perp BC \)** (đã chứng minh ở mục b)

---

**e) Chứng minh \( \triangle AEB = \triangle ADC \)**

Tương tự như cách chứng minh trước:
- \( AE = AD \) (theo giả thiết)
- \( AB = AC \) (tam giác cân).
- \( BE = CD \) (do tính chất trung điểm).
- Cả hai tam giác có chung cạnh \( A \).

Vậy:
\[
\triangle AEB \cong \triangle ADC
\]

---

**f) Trên tia đối tia CB lấy Q sao cho MP = MQ**

Do đó, \( MQ = MP \) và \( MQ \) là đoạn thẳng song song đường thẳng \( AB \).

---

**g) Chứng minh \( \triangle ACP = \triangle ABQ \)**

Xét hai tam giác:
- \( AP = AB \) (theo chiều dài).
- \( AC = AB \).
- \( CP = BQ \) do mối liên hệ song song (điều này do \( MQ \) song song với \( AB \)).

Do đó, từ các yếu tố tương ứng với nhau, ta có:
\[
\triangle ACP \cong \triangle ABQ
\]

---

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh tuần tự các phần bài toán từ a đến g theo các lý thuyết hình học về tam giác và các tính chất hình học liên quan.