Để xác định cấu hình electron và vị trí của các nguyên tố trong bảng tuần hoàn dựa trên thông tin bạn đã cung cấp, chúng ta cần phân tích từng phần một:

### a. Anion \( X^{2-} \) và Cation \( Y^{+} \)

Cả hai ion đều có cấu hình electron lớp ngoài cùng là \( 2s^2 2p^6 \). Cấu hình này là cấu hình đặc trưng của các nguyên tố có 8 electron ở lớp ngoài cùng, tương ứng với lớp electron thứ 2 hoàn thành.

Cấu hình electron tổng thể sẽ là:

- \( X^{2-} \): do là anion với 2 electron bổ sung nên số electron của nguyên tử X là \( 2s^2 2p^6 \) (tương ứng với 10 electron). Nguyên tử này có thể là Neon (Ne), một nguyên tố khí hiếm trong bảng tuần hoàn.

- \( Y^{+} \): do là cation với 1 electron bị mất, số electron của nguyên tử Y là \( 2s^2 2p^5 \) (tương ứng với 9 electron). Nguyên tử này có thể là Flo (F), một nguyên tố phi kim.

Vị trí trong bảng tuần hoàn:
- \( X \) là Neon, nằm ở nhóm 18 (group 0).
- \( Y \) là Flo, nằm ở nhóm 17.

### b. Tổng số hạt cơ bản của \( X^{2+} \) là 80, trong đó số electron bằng \(\frac{4}{5}\) số neutron.

1. **Xác định số hạt cơ bản của \( X \)**:
- Tổng số hạt cơ bản (electron + neutron + proton) của ion \( X^{2+} \) là 80.
- Số electron \( e \) = \(\frac{4}{5}\) số neutron \( n \).

2. **Thiết lập phương trình**:
- Gọi số proton là \( p \).
- Vì \( X \) là nguyên tố và \( X^{2+} \) có 2 electron bị mất, ta có:
\[
e + n + p = 80
\]

- Số electron \( e = p - 2 \) (vì ion \( X^{2+} \) có 2 electron bị mất).
- Theo thông tin đã cho, \( e = \frac{4}{5}n \).

3. **Thay vào phương trình**:
- Thay \( e \) vào phương trình:
\[
\frac{4}{5}n + n + (e + 2) = 80
\]
- Thay \( e = \frac{4}{5}n \):
\[
\frac{4}{5}n + n + \left(\frac{4}{5}n + 2\right) = 80
\]

4. **Giải phương trình này**:
- Tính toán sẽ cho ra \( n \) và từ đó tính được các giá trị khác:
- Giới thiệu khoảng mục tiêu:
\[
n = 25 \quad \Rightarrow \quad e = \frac{4}{5} \times 25 = 20 \quad \Rightarrow \quad p = e + 2 = 20 + 2 = 22
\]

**Số proton là 22**, nghĩa là nguyên tố \( X \) là Titanium (Ti), với số nguyên tử 22.

### Kết luận

- \( X \): là Titanium (Ti), thuộc nhóm 4.
- \( X^{2-} \): là Neon (Ne), thuộc nhóm 18.
- \( Y \): là Flo (F), thuộc nhóm 17.