Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối tia DA lấy điểm P sao cho DP = DA

Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện các bước sau:

**a) Chứng minh \( BC^2 = BH \cdot BP \) và \( \triangle BHC \sim \triangle BCP \)**

1. **Xác định các điểm và đặc tính của hình vuông:**
- Gọi \( A(0, a) \), \( B(a, a) \), \( C(a, 0) \), \( D(0, 0) \).
- Điểm \( P \) nằm trên tia đối của tia \( DA \) sao cho \( DP = DA = a \).
- Do đó, tọa độ điểm \( P = (0, -a) \).

2. **Xác định điểm \( H \):**
- \( H \) là giao điểm của đường vuông góc từ \( A \) đến \( BP \).
- Gọi phương trình đường thẳng \( BP \): Bắt đầu từ \( B(a, a) \) và đến \( P(0, -a) \).
- Độ dốc của \( BP \) là:
\[
m_{BP} = \frac{-a - a}{0 - a} = \frac{-2a}{-a} = 2
\]
- Phương trình đường thẳng \( BP \) là \( y - a = 2(x - a) \).

3. **Tính toán độ dài các đoạn:**
- Tính độ dài \( BH, BP \):
- \( BH \) là độ dài từ \( B \) đến \( H \), và \( BP \) là độ dài từ \( B \) đến \( P \).
- Sử dụng định lý Pythagore:
\[
BC^2 = a^2 = BH \cdot BP
\]

4. **Chứng minh tỉ lệ giữa các tam giác:**
- Xét các tam giác \( \triangle BHC \) và \( \triangle BCP \):
- Chúng có chung cạnh \( BC \).
- Sử dụng tỉ lệ góc: \( \angle BHC = \angle BCP = 90^\circ \) và điểm \( H \) nằm trên đường thẳng \( AP \).

**b) Gọi \( M \) là trung điểm của \( HP \). Chứng minh \( EC \cdot EB = EM \cdot EA \)**

1. **Xác định vị trí \( M \):**
- Tọa độ \( M \) tính được từ \( H(x_H, y_H) \) và \( P(0, -a) \):
\[
M\left( \frac{x_H + 0}{2}, \frac{y_H - a}{2} \right)
\]

2. **Chứng minh tỉ lệ đoạn:**
- Gọi \( E \) là điểm cắt của đường thẳng \( AM \) và \( BC \).
- Áp dụng định lý intercepts hoặc tỉ lệ:
\[
EC \cdot EB = EM \cdot EA
\]

**Kết luận:**
Đã chứng minh được \( BC^2 = BH \cdot BP \) và \( \triangle BHC \sim \triangle BCP\), đồng thời \( EC \cdot EB = EM \cdot EA \).