Để chứng minh tứ giác \( AEFD \) là hình bình hành và các hệ quả khác theo yêu cầu, chúng ta sẽ làm theo các bước sau đây.

### 1. Chứng minh \( AE \parallel DF \) và \( BE \parallel CF \)

- **Từ giả thiết**: Ta có \( AE = DF \) (giả thiết)
- **Sử dụng hình bình hành**: Trong hình bình hành \( ABCD \), các cạnh đối diện song song với nhau.
- Trong hình bình hành \( ABCD \):
- Ta có \( AB \parallel CD \)
- Đồng thời, vì \( E \) và \( F \) được lấy trên các cạnh \( AB \) và \( CD \), ta có:
\[
AE \parallel DF \quad \text{và} \quad BE \parallel CF
\]

### 2. Chứng minh \( BE = CF \)

- Theo giả thiết, \( AE = DF \) và từ tứ giác, ta có:
- \( BE = AB - AE \)
- \( CF = CD - DF \)
- Vì \( AB = CD \) (đặc tính của hình bình hành), suy ra:
\[
BE = CF
\]

### 3. Chứng minh tứ giác \( AEFD \) là hình bình hành

- Để chứng minh tứ giác \( AEFD \) là hình bình hành, chúng ta kiểm tra xem hai cặp cạnh đối diện có song song và bằng nhau:
- \( AE \parallel DF \) (đã chứng minh ở bước 1)
- \( BE = CF \) (đã chứng minh ở bước 2)
- Vậy nên, ta có:
\[
AE \parallel DF \quad \text{và} \quad AE = DF \Rightarrow \text{tứ giác } AEFD \text{ là hình bình hành.}
\]

### 4. Chứng minh tứ giác \( BEFC \) là hình bình hành

- Tương tự như tứ giác \( AEFD \), ta sử dụng các dữ kiện đã có:
- \( BE \parallel CF \) và \( BE = CF \)
- Do đó, tứ giác \( BEFC \) cũng là hình bình hành.

### Kết luận
- Ta đã chứng minh được rằng:
1. \( AE \parallel DF \) và \( BE \parallel CF \)
2. \( BE = CF \)
3. Tứ giác \( AEFD \) là hình bình hành
4. Tứ giác \( BEFC \) là hình bình hành

Như vậy, các yêu cầu đề bài đã được chứng minh.