Cho m ≥ 2n. Chứng minh: 2m - 1 ≥ m + 2n - 1

Chúng ta sẽ chứng minh từng phần theo thứ tự đã cho.

1. **Chứng minh: \(2m - 1 \geq m + 2n - 1\)** với \(m \geq 2n\).

Bắt đầu từ bất đẳng thức cần chứng minh:
\[
2m - 1 \geq m + 2n - 1
\]
Rút gọn bất đẳng thức:
\[
2m \geq m + 2n
\]
Trừ đi \(m\) từ cả hai vế:
\[
m \geq 2n
\]
Vì \(m \geq 2n\) là giả thiết đúng, nên bất đẳng thức \(2m - 1 \geq m + 2n - 1\) là đúng.

2. **Chứng minh: \(-5x + 7 \geq -5y + 7\)** với \(x < y\).

Bắt đầu từ bất đẳng thức cần chứng minh:
\[
-5x + 7 \geq -5y + 7
\]
Rút gọn:
\[
-5x \geq -5y
\]
Chia cả hai vế cho -5 (lưu ý rằng khi chia cho số âm, bất đẳng thức sẽ đảo chiều):
\[
x \leq y
\]
Điều này là đúng vì \(x < y\). Do đó, bất đẳng thức ban đầu là đúng.

3. **Chứng minh: \(2m - 3 \geq 2n - 3\)** với \(m \geq n\).

Bắt đầu từ bất đẳng thức:
\[
2m - 3 \geq 2n - 3
\]
Rút gọn:
\[
2m \geq 2n
\]
Chia cả hai vế cho 2:
\[
m \geq n
\]
Điều này là đúng theo giả thiết, vì vậy bất đẳng thức gốc là đúng.

4. **Chứng minh: \(a + 5 > b + 4\)** với \(a > b\).

Bắt đầu từ:
\[
a + 5 > b + 4
\]
Rút gọn:
\[
a > b - 1
\]
Do \(a > b\), vì vậy bất đẳng thức này là đúng.

5. **Chứng minh: \(\frac{34}{11} > \frac{26}{9}\)**.

Để chứng minh, chúng ta so sánh hai phân số bằng cách tìm mẫu chung:
Tính giá trị của cả hai phân số:
\[
\frac{34}{11} \quad \text{và} \quad \frac{26}{9}.
\]
Giá trị xấp xỉ:
\[
\frac{34}{11} \approx 3.0909 \quad \text{và} \quad \frac{26}{9} \approx 2.8888.
\]
Rõ ràng, \(3.0909 > 2.8888\), vì vậy \(\frac{34}{11} > \frac{26}{9}\).

6. **Chứng minh rằng: \((a + 1)² \leq 2a + 2\) với \(a² \leq 1\)**.

Bắt đầu từ bất đẳng thức:
\[
(a + 1)^2 \leq 2a + 2
\]
Mở rộng bên trái:
\[
a^2 + 2a + 1 \leq 2a + 2.
\]
Rút gọn:
\[
a^2 + 1 \leq 2.
\]
Điều này tương đương với:
\[
a^2 \leq 1,
\]
là đúng theo giả thiết. Vì vậy, bất đẳng thức \((a + 1)^2 \leq 2a + 2\) là đúng.

Tóm lại, tất cả các bất đẳng thức đã chứng minh đều là đúng theo các giả thiết đã cho.