Tìm các số a, b biết đa thức \( x^4 + x^2 + 1 \) chia hết cho đa thức \( x^2 + ax + b \) với mọi giá trị của x

Để tìm các số \( a, b \) sao cho đa thức \( x^4 + x^2 + 1 \) chia hết cho đa thức \( x^2 + ax + b \) với mọi giá trị của \( x \), ta có thể sử dụng định lý chia đa thức.

Giả sử \( x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + px + q) \).

Khi nhân hai đa thức này, ta sẽ tìm ra các hệ số của \( x^4, x^3, x^2, x^1, x^0 \) và so sánh với đa thức gốc.

1. **Hệ số của \( x^4 \)**:
\[
1 = 1 \cdot 1 \Rightarrow \text{Đúng.}
\]

2. **Hệ số của \( x^3 \)**:
\[
p + a = 0 \Rightarrow p = -a.
\]

3. **Hệ số của \( x^2 \)**:
\[
ap + b + q = 1.
\]
Thay \( p \) vào:
\[
a(-a) + b + q = 1 \Rightarrow -a^2 + b + q = 1.
\]

4. **Hệ số của \( x^1 \)**:
\[
aq + bp = 0 \Rightarrow aq + b(-a) = 0 \Rightarrow aq - ab = 0.
\]
Nếu \( a \neq 0 \), ta có:
\[
q = b.
\]

5. **Hệ số của \( x^0 \)**:
\[
bq = 1 \Rightarrow b^2 = 1 \Rightarrow b = 1 \text{ hoặc } b = -1.
\]

Bây giờ, ta kiểm tra từng trường hợp của \( b \):

- **Trường hợp 1**: Nếu \( b = 1 \):
\[
-a^2 + 1 + 1 = 1 \Rightarrow -a^2 + 2 = 1 \Rightarrow -a^2 = -1 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = 1 \text{ hoặc } a = -1.
\]
Vậy một số cặp \( (a, b) \) là \( (1, 1) \) và \( (-1, 1) \).

- **Trường hợp 2**: Nếu \( b = -1 \):
\[
-a^2 - 1 + q = 1 \Rightarrow -a^2 + q = 2 \Rightarrow q = a^2 + 2.
\]
Từ \( aq - ab = 0 \):
\[
a(a^2 + 2) - (-1)(-a) = 0 \Rightarrow aa^2 + 2a - a = 0 \Rightarrow aa^2 + a = 0 \Rightarrow a(a^2 + 1) = 0.
\]
Kết quả cho \( a = 0 \) hoặc không có giá trị thực cho \( a \).

Tóm lại, các giá trị của \( (a, b) \) mà ta tìm được là:
- \( (1, 1) \)
- \( (-1, 1) \)

Do đó, các số \( a, b \) cần tìm là:
- \( (a, b) = (1, 1) \) hoặc \( (a, b) = (-1, 1) \).