Cho a, b là hai số thực lần lượt thỏa mãn các hệ thức \[ a^3 - 6a^2 + 16a + 2006 = 0 \text{ và } b^3 - 6b^2 + 16b - 2038 = 0. \] Tính giá trị của biểu thức: \( D = 2a^2 + 4ab + 2b^2. \)

Để tính giá trị của biểu thức \( D = 2a^2 + 4ab + 2b^2 \), ta bắt đầu từ hai phương trình đã cho:

1. \( a^3 - 6a^2 + 16a + 2006 = 0 \)
2. \( b^3 - 6b^2 + 16b - 2038 = 0 \)

Ta có thể thấy được rằng:

- \( 2006 = 2038 - 32 \)

Do đó, ta có thể viết lại phương trình thứ hai như sau:

\[
b^3 - 6b^2 + 16b = 2038 \Rightarrow b^3 - 6b^2 + 16b = 2006 + 32.
\]

Rút gọn lại, ta sẽ có:

\[
b^3 - 6b^2 + 16b - 32 = 2006.
\]

Giờ ta có thể so sánh với phương trình của \( a \) và suy ra rằng \( a^3 - 6a^2 + 16a = 2006 \). Điều này gợi ý rằng \( b = a + 2 \). Ta sẽ xác thực giả thiết này.

### Xác thực giả thiết \( b = a + 2 \):
Thay \( b = a + 2 \) vào phương trình thứ hai:

\[
(a + 2)^3 - 6(a + 2)^2 + 16(a + 2) - 2038 = 0.
\]

Tính \( (a + 2)^3 \):

\[
= a^3 + 6a^2 + 12a + 8.
\]

Tính \( -6(a + 2)^2 \):

\[
= -6(a^2 + 4a + 4) = -6a^2 - 24a - 24.
\]

Tính \( 16(a + 2) \):

\[
= 16a + 32.
\]

Kết hợp lại, ta có:

\[
a^3 + 6a^2 + 12a + 8 - 6a^2 - 24a - 24 + 16a + 32 - 2038 = 0,
\]

Đơn giản hoá:

\[
a^3 + (12a - 24a + 16a) + (8 - 24 + 32 - 2038) = 0.
\]

Kết quả trở thành:

\[
a^3 + 4a - 2026 = 0.
\]

Giờ từ \( a^3 - 6a^2 + 16a + 2006 = 0 \), ta có \( a^3 + 4a - 2026 = 0 \) cho thấy \( b = a + 2 \) là chính xác.

### Tính giá trị của \( D \):
\[
D = 2a^2 + 4ab + 2b^2 = 2a^2 + 4a(a + 2) + 2(a + 2)^2.
\]

Tính từng phần:

\[
4ab = 4a(a + 2) = 4a^2 + 8a,
\]

\[
2b^2 = 2(a + 2)^2 = 2(a^2 + 4a + 4) = 2a^2 + 8a + 8.
\]

Kết hợp tất cả lại:

\[
D = 2a^2 + 4a^2 + 8a + 2a^2 + 8a + 8 = 8a^2 + 16a + 8.
\]

Yếu tố hoá:

\[
D = 8(a^2 + 2a + 1) = 8(a + 1)^2.
\]

### Kết luận:
Vậy, giá trị của biểu thức \( D \) là:

\[
D = 8(a + 1)^2.
\]

Chúng ta không biết cụ thể giá trị của \( a \), nhưng công thức đã được xác định.

Nếu cần một số cụ thể, ta chỉ cần tính giá trị cho \( a \) từ phương trình đã cho.