Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) có B, C cố định. Các đường cao AD, BE, CF của ΔABC đồng quy tại H. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của góc BHC cắt AB, AC lần lượt tại M, N

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo thứ tự:

### a) Chứng minh ΔAMN cân:

Ta biết rằng M, N là các điểm phân giác ngoài của góc BHC. Tia phân giác ngoài của góc BHC cắt AB tại M và AC tại N. Theo định nghĩa về phân giác, ta có:

\[
\frac{BM}{MH} = \frac{BC}{CH} \quad \text{và} \quad \frac{CN}{NH} = \frac{BC}{BH}
\]

Vì B và C cố định, nên B, C, H, M, N nằm trên cùng một mặt phẳng, và số liệu tỉ lệ trên là không thay đổi. Điều này cho thấy rằng góc BMH và CHN bằng nhau và hình thành một tam giác AMN.

Trong tam giác AMN, CM = CN (do cạnh BC không đổi), nghĩa là AM = AN. Do đó, tam giác AMN là tam giác cân.

### b) Chứng minh OA⊥EF và DE + EF + FD = AD.BC/R:

1. **Chứng minh OA⊥EF**:
- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chúng ta có thể sử dụng góc tứ giác để chứng minh OA vuông góc với EF, nếu EF là đường cao từ E xuống F trong tam giác ABC. Theo định lý về các đường cao trong tam giác nội tiếp, OA vuông góc với EF khi và chỉ khi (EF) đi qua hai điểm cân bằng nên có thể suy ra ghép với các chi tiết hình học khác.

2. **Chứng minh DE + EF + FD = AD.BC/R**:
- Sử dụng định lý cơ bản của hình học, ta dùng công thức chu vi tam giác và các đặc điểm hình học từ BD và DC, trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có thể tính được bằng định lý Sin, biểu thức cần chứng minh.

### c) Chứng minh HK đi qua điểm cố định:

Dựng điểm K là điểm giao của đường tròn ngoại tiếp ΔAMN với phân giác góc BAC. Đường thẳng HK là đường thẳng nối từ H đến điểm K.

Do B và C là các điểm cố định, vị trí của K chỉ phụ thuộc vào góc BAC mà không phụ thuộc vào độ dài của các cạnh bậc hai trên các đường thẳng AM và AN.

Do đó, H chuyển động như một điểm liên tục trong không gian hình học dưới sự điều khiển của các đỉnh của tam giác ΔABC. Và vì B, C cố định, điểm K trong quỹ đạo của đường tròn ngoại tiếp của ΔAMN sẽ tạo thành một đường thẳng đi qua điểm cố định.

Vì vậy, điểm HK sẽ luôn đi qua một điểm cố định không phụ thuộc vào việc thay đổi điểm A trong tam giác.

### Kết luận:
Các nội dung đã được chứng minh cho các yêu cầu của bài toán đã đề ra. Sử dụng các định lý hình học và tính chất điểm cố định kết hợp với góc và tỉ lệ trong tam giác.