Để tìm số tự nhiên \( x \) lớn nhất thỏa mãn các điều kiện:

### a) 150 và 345 cùng chia hết cho \( x \)

1. **Tìm ƯCLN của 150 và 345**:
- Phân tích 150: \( 150 = 2 \times 3 \times 5^2 \)
- Phân tích 345: \( 345 = 3 \times 5 \times 23 \)

2. **Tìm ƯCLN**:
- Các yếu tố chung: \( 3 \) và \( 5 \).
- ƯCLN(150, 345) = \( 3^1 \times 5^1 = 15 \).

Vậy, số tự nhiên \( x \) lớn nhất thỏa mãn điều kiện này là \( 15 \).

### b) \( x \) chia hết cho 18, 32 và chia 360 cho \( x \)

1. **Tìm BSCNN của 18 và 32**:
- Phân tích 18: \( 18 = 2 \times 3^2 \)
- Phân tích 32: \( 32 = 2^5 \)

2. **Tìm BSCNN**:
- BSCNN(18, 32) = \( 2^5 \times 3^2 = 96 \).

3. **Chia 360 cho \( x \)**:
- Phân tích 360: \( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \).

Do \( x \) phải là một bội chung của 96 và cũng phải chia hết cho 360. Số lớn nhất thỏa mãn điều kiện này sẽ là số trong dãy bội của 96 mà cũng phải không vượt quá 360.

- Các bội của 96 là: \( 96, 192, 288, 384 \) (bội tiếp theo là 384 không thỏa mãn vì lớn hơn 360).

Kết luận, số tự nhiên \( x \) lớn nhất thỏa mãn điều kiện \( x \) chia hết cho 18, 32 và \( 360 \div x \) là \( 96 \).

### Tóm tắt:
- a) \( x = 15 \)
- b) \( x = 96 \)