Để tìm số tự nhiên \( x \) lớn nhất thỏa mãn các điều kiện trong bài toán, ta thực hiện các bước sau:

### a) Tìm \( x \) sao cho 214 và 784 cùng chia hết cho \( x \)

1. Tính ước chung lớn nhất (UCLN) của hai số 214 và 784.

Phân tích 214:
\[
214 = 2 \times 107
\]

Phân tích 784:
\[
784 = 2^4 \times 7^1
\]

Tìm UCLN:
- Số 2 là yếu tố chung với số mũ thấp nhất là \( 2^1 \).
- Số 7 không phải là yếu tố của 214.
- Số 107 không phải là yếu tố của 784.

Vậy UCLN(214, 784) là:
\[
UCLN(214, 784) = 2^1 = 2
\]

### b) Tìm \( x \) sao cho \( 15 : x; 50 : x; 145 : x \)

1. Tính bội chung nhỏ nhất (BCNN) của ba số 15, 50, và 145.

Phân tích 15:
\[
15 = 3^1 \times 5^1
\]

Phân tích 50:
\[
50 = 2^1 \times 5^2
\]

Phân tích 145:
\[
145 = 5^1 \times 29^1
\]

Tìm BCNN:
- Số 2: \( 2^1 \) (từ 50)
- Số 3: \( 3^1 \) (từ 15)
- Số 5: \( 5^2 \) (từ 50)
- Số 29: \( 29^1 \) (từ 145)

Vậy:
\[
BCNN(15, 50, 145) = 2^1 \times 3^1 \times 5^2 \times 29^1
\]
Tính giá trị:
\[
= 2 \times 3 \times 25 \times 29
\]
\[
= 6 \times 25 = 150
\]
\[
= 150 \times 29 = 4350
\]

### Kết luận

- Số tự nhiên \( x \) lớn nhất thỏa mãn điều kiện a) là \( x = 2 \).
- Số tự nhiên \( x \) lớn nhất thỏa mãn điều kiện b) là \( x = 4350 \).