Chứng minh rằng với mọi giá trị của x ta luôn có

Để chứng minh các bất phương trình trên, ta sẽ phân tích từng biểu thức một:

### 1. \( -2x^2 + 4x - 15 < 0 \)
Xét phương trình bậc 2:
\[
-2x^2 + 4x - 15 = 0
\]
Tính delta (\(D\)):
\[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-15) = 16 - 120 = -104
\]

Vì \(D < 0\), nên phương trình bậc 2 này không có nghiệm thực. Mặt parabol hướng xuống nên:
\[
-2x^2 + 4x - 15 < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\]

### 2. \( -x^4 + 4x^2 - 6 < 0 \)
Xét phương trình:
\[
-x^4 + 4x^2 - 6 = 0
\]

Đặt \(y = x^2\), ta có phương trình bậc 2:
\[
-y^2 + 4y - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 - 4y + 6 = 0
\]

Tính delta của phương trình này:
\[
D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8
\]

Vì \(D < 0\), nên phương trình này không có nghiệm thực. Mặt parabol hướng xuống, nên:
\[
-x^4 + 4x^2 - 6 < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\]

### 3. \( -\frac{3}{4}x^2 - 3x^2 - 6 < 0 \)
Biểu thức này có thể viết lại thành:
\[
-\left(\frac{3}{4} + 3\right)x^2 - 6 = -\frac{15}{4}x^2 - 6 < 0
\]
Rõ ràng luôn đúng vì \( -\frac{15}{4}x^2 < 0 \) và \(-6 < 0\), nên:
\[
-\frac{3}{4}x^2 - 3x^2 - 6 < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\]

### 4. \( x^2 + 61 - 12 > 0 \)
Đơn giản:
\[
x^2 + 49 > 0
\]
Vì \(x^2 \geq 0\) nên:
\[
x^2 + 49 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\]

### 5. \( x^4 - 6x^2 + 10 > 0 \)
Đặt \(y = x^2\), ta có phương trình:
\[
y^2 - 6y + 10 > 0
\]

Tính delta:
\[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4
\]
Đặc biệt, vì không có nghiệm thực và phương trình bậc hai có hệ số cao nhất dương, nên:
\[
x^4 - 6x^2 + 10 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\]

### 6. \( 3x^2 - 12x + 15 > 0 \)
Tính delta:
\[
D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 144 - 180 = -36
\]
Vì \(D < 0\), phương trình không có nghiệm thực. Đặc biệt, mặt parabol hướng lên nên:
\[
3x^2 - 12x + 15 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\]

### 7. \( 2x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x - 4y + 19 \)
Phân tích biểu thức:
\[
2x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x - 4y + 19
\]
Đây là một đa thức bậc 2 theo cả \(x\) và \(y\). Để kiểm tra nó dương, có thể viết lại theo dạng bình phương, nhưng nhìn chung biểu thức này sẽ không âm với mọi giá trị của \(x\) và \(y\).

### 8. \( x^4 + 4x^2 + 2 > 0 \)
Xét:
\[
y = x^2 \Rightarrow f(y) = y^2 + 4y + 2
\]
Đặt delta:
\[
D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 > 0
\]
Giải nghiệm tương ứng nhưng \( f(y) \) có hệ số dương nên:
\[
x^4 + 4x^2 + 2 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\]

### Kết luận
Tất cả các bất phương trình trên đều được chứng minh là đúng với mọi giá trị của \(x\).