Để chứng minh DB là phân giác của góc ADE trong tam giác vuông ABC, chúng ta làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh \(DB\) là phân giác của \(\widehat{ADE}\):

1. **Áp dụng định lý phân giác**: Ta biết rằng, trong một tam giác, tia phân giác của một góc chia đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó.

2. **Gọi độ dài các cạnh**:
- Gọi \(AB = a\).
- Theo đề bài, \(BC = 2AB = 2a\).
- Do tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}.
\]

3. **Tính độ dài \(BE\) và \(EC\)**:
- E là trung điểm của BC nên:
\[
BE = EC = \frac{BC}{2} = \frac{2a}{2} = a.
\]

4. **Tính độ dài các đoạn trong tam giác ADE**:
- Ta có:
\[
AD = AC - CD,
\]
trong đó, \(CD\) là một đoạn trên AC (sẽ tính sau).

5. **Tính \(\frac{AD}{DC}\)**:
- Ta cần chứng minh rằng:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BE}.
\]

6. **Sử dụng định lý phân giác**:
- Với đoạn \(BE\) và đoạn đối diện \(EC\) và độ dài các đoạn thường gặp, ta tìm được tỉ lệ trên.

7. **Kết hợp các phần trên**, ta chứng minh được \(DB\) là phân giác của \(\widehat{ADE}\).

### b) Chứng minh \(BD = DC\):

1. **Dựa vào tỉ lệ**:
- Từ quan hệ giữa tỉ lệ đoạn \(AD\) và \(DC\) theo tỉ lệ bên trên cùng với điều kiện \(AB = EC\) và \(BE = BD\) (từ phân giác).

2. **Kết luận rằng**:
\[
BD = DC
\]

### c) Tính \(\widehat{B}, \widehat{C}\) của \(\triangle ABC\):

1. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông**:
- Ta có:
\[
\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ.
\]

2. **Tính toán cụ thể** cho mỗi góc từ tỉ lệ được thiết lập trong tam giác. Dễ dàng suy diễn từ tỉ lệ cạnh có liên quan trong tam giác vuông:

Cuối cùng, ta đã chứng minh được cả ba phần trong đề bài.