Để viết biểu thức \( A = 4 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{2024} \) dưới dạng lũy thừa với cơ số 2, trước tiên ta cần nhận diện từng thành phần trong biểu thức.

Ta có thể viết \( 4 \) dưới dạng lũy thừa của \( 2 \):
\[
4 = 2^2.
\]
Do đó, ta có thể viết lại \( A \) như sau:
\[
A = 2^2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{2024}.
\]
Biểu thức này có thể nhóm lại:
\[
A = 2^2 + (2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{2024}).
\]
Thay vì nhóm, chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của hình học để tính toán phần đuôi.

Tổng của chuỗi từ \( 2^2 \) đến \( 2^{2024} \) có số hạng đầu là \( 2^2 \) và số hạng cuối là \( 2^{2024} \). Số hạng của chuỗi \( 2^n \) từ \( n = 2 \) đến \( n = 2024 \) là:
\[
n = 2024 - 2 + 1 = 2023 \text{ hạng}.
\]
Áp dụng công thức tổng \( S_n = a \frac{(r^n - 1)}{(r - 1)} \):
- \( a = 2^2 = 4 \)
- \( r = 2 \)
- \( n = 2023 \)

Do đó,
\[
S = 2^2 \frac{(2^{2023} - 1)}{(2 - 1)} = 4 \cdot (2^{2023} - 1) = 4 \cdot 2^{2023} - 4.
\]

Thay vào biểu thức \( A \):
\[
A = 2^2 + (4 \cdot 2^{2023} - 4) = 4 + 4 \cdot 2^{2023} - 4 = 4 \cdot 2^{2023}.
\]

Cuối cùng, ta có:
\[
A = 4 \cdot 2^{2023} = 2^2 \cdot 2^{2023} = 2^{2025}.
\]

Vậy \( A \) được viết dưới dạng lũy thừa với cơ số 2 như sau:
\[
A = 2^{2025}.
\]