Biết \( a \perp b, a \perp c, \overline{bAB} = 60^\circ; \overline{BCD} = 50^\circ \). Chứng minh \( b \parallel c \)

Để chứng minh \( b \parallel c \), ta sẽ sử dụng tính chất của các góc chéo lớn hơn và phương pháp tính toán các góc.

1. **Thông tin đã cho**:
- \( a \perp b \) và \( a \perp c \) có nghĩa là \( b \) và \( c \) đều vuông góc với \( a \).
- Góc \( \overline{ABM} = 60^\circ \).
- Góc \( \overline{BCD} = 50^\circ \).

2. **Tính góc \( \overline{DCP} \)**:
- Bởi vì \( c \) vuông góc với \( a \), ta có:
\[
\overline{DCA} = 90^\circ
\]
- Từ đó, ta có:
\[
\overline{DCP} = \overline{DCA} - \overline{BCD} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ
\]

3. **Tại điểm \( B \)**, góc \( \overline{ABN} \) là góc vuông (bởi vì \( a \perp b \)):
\[
\overline{ABN} = 90^\circ
\]
- Từ đó, tính góc \( \overline{ABA} \), ta có:
\[
\overline{ABP} = \overline{ABN} - \overline{ABM} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ
\]

4. **Bây giờ xét hai góc \( \overline{DCP} \) và \( \overline{ABP} \)**:
- Ta đã có:
\[
\overline{DCP} = 40^\circ
\]
\[
\overline{ABP} = 30^\circ
\]

5. **Bây giờ chúng ta có**:
\[
\overline{DCP} + \overline{ABP} = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ
\]

6. **Từ cơ sở trên và dựa vào định lý về góc đồng vị, ta thấy rằng**:
- Góc \( \overline{BCD} \) và góc \( \overline{DCP} \) là hai góc đồng vị tại đường cắt \( a \) với hai đường thẳng \( b \) và \( c \).

Do đó, theo định lý về các góc đồng vị, ta có:
\[
b \parallel c
\]

Nên ta đã chứng minh được \( b \parallel c \).