Để tính giá trị của \( \sin^4 a + \cos^4 a \) với điều kiện \( \sin a + \cos a = \sqrt{2} \), ta có thể làm theo các bước sau:

### Bước 1: Áp dụng Định lý

Ta sử dụng công thức tổng quát:
\[
\sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)^2 - 2 \sin^2 a \cos^2 a
\]

### Bước 2: Thay thế giá trị của \( \sin^2 a + \cos^2 a \)

Biết rằng:
\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]
Thay vào công thức trên:
\[
\sin^4 a + \cos^4 a = 1^2 - 2 \sin^2 a \cos^2 a = 1 - 2 \sin^2 a \cos^2 a
\]

### Bước 3: Tính \( \sin^2 a + \cos^2 a \)

Từ điều kiện \( \sin a + \cos a = \sqrt{2} \), ta bình phương hai bên:
\[
(\sin a + \cos a)^2 = 2
\]
Khi đó, ta có:
\[
\sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cos a = 2
\]
Thay \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) vào:
\[
1 + 2 \sin a \cos a = 2
\]
Suy ra:
\[
2 \sin a \cos a = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin a \cos a = \frac{1}{2}
\]

### Bước 4: Tính \( \sin^2 a \cos^2 a \)

Ta dùng công thức:
\[
\sin^2 a \cos^2 a = (\sin a \cos a)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\]

### Bước 5: Thay vào công thức của \( \sin^4 a + \cos^4 a \)

\[
\sin^4 a + \cos^4 a = 1 - 2 \left(\frac{1}{4}\right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

### Kết quả

Vậy giá trị của \( \sin^4 a + \cos^4 a \) là:
\[
\frac{1}{2}
\]