Để rút gọn biểu thức \( a = \frac{x - 13}{x^2 - x - 6} - \frac{x + 3}{x + 2} - \frac{2x - 4}{3 - x} \), chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

### Bước 1: Rút gọn từng phân thức

**1. Phân thức đầu tiên:**
\[
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
\]
Vậy,
\[
\frac{x - 13}{x^2 - x - 6} = \frac{x - 13}{(x - 3)(x + 2)}
\]

**2. Phân thức thứ hai:**
\[
\frac{x + 3}{x + 2} \text{ không cần rút gọn.}
\]

**3. Phân thức thứ ba:**
\[
\frac{2x - 4}{3 - x} = \frac{2(x - 2)}{-(x - 3)} = -\frac{2(x - 2)}{x - 3}
\]

### Bước 2: Thay thế vào biểu thức
Biểu thức giờ trở thành:
\[
a = \frac{x - 13}{(x - 3)(x + 2)} - \frac{x + 3}{x + 2} - \left(-\frac{2(x - 2)}{x - 3}\right)
\]

### Bước 3: Tìm mẫu chung
Mẫu chung của ba phân thức là:
\[
(x - 3)(x + 2)
\]

### Bước 4: Biểu thức với mẫu chung
Ta viết lại các phân thức với mẫu chung.

- Phân thức đầu tiên:
\[
\frac{x - 13}{(x - 3)(x + 2)}
\]

- Phân thức thứ hai:
\[
-\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 2)(x - 3)} = -\frac{(x^2 - 9 + 3x)}{(x + 2)(x - 3)} = -\frac{x^2 + 3x - 9}{(x + 2)(x - 3)}
\]

- Phân thức thứ ba:
\[
\frac{2(x - 2)(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2(x^2 - 4)}{(x - 3)(x + 2)}
\]

### Tổng hợp lại
Bây giờ, ta có:
\[
a = \frac{x - 13 - (x^2 + 3x - 9) + 2(x^2 - 4)}{(x - 3)(x + 2)}
\]
\[
= \frac{x - 13 - x^2 - 3x + 9 + 2x^2 - 8}{(x - 3)(x + 2)}
\]
\[
= \frac{x^2 - 2x - 12}{(x - 3)(x + 2)}
\]

### Bước 5: Rút gọn
Ta tiếp tục rút gọn tử:
\[
x^2 - 2x - 12 = (x - 6)(x + 2)
\]
Vì vậy:
\[
a = \frac{(x - 6)(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)} \Rightarrow a = \frac{x - 6}{x - 3} \quad (x \neq -2)
\]

### Bước 6: Tìm \( x \) nguyên để \( a \) là nguyên
Để \( \frac{x - 6}{x - 3} \) là nguyên, \( x - 6 \) phải chia hết cho \( x - 3 \).
Ta có:
\[
x - 6 = k(x - 3) \text{ với } k \in \mathbb{Z}
\]

Giải phương trình trên sẽ cho:
\[
x - 6 = kx - 3k \Rightarrow (1 - k)x = 3k - 6
\]
Gần đây là một số giá trị nguyên cho \( x \):

- Với \( k = 1 \): \( x - 6 = x - 3 \rightarrow 3 = 0 \) (không có nghiệm),
- Với \( k = 2 \): \( -x = -4 \rightarrow x = 4 \) (nguyên),
- Với \( k = 3 \): \( -2x = -3 \rightarrow x = \frac{3}{2} \) (không nguyên),
- Với \( k = 4 \): \( -3x = -6 \rightarrow x = 2 \) (nguyên),
- Với \( k = 5 \) trở lên sẽ không cho nghiệm nguyên nào khác.

### Kết luận
Vậy các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( a \) là số nguyên là:
\[
x = 4 \text{ và } x = 2.
\]