Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt abm làm từng phần.

### a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

Tứ giác ADME là hình thang. Lý do:
- Từ điểm A vuông góc với hai cạnh AB và AC, các đoạn AD và ME sẽ là hai đường thẳng song song (AD // ME).
- Hơn nữa, vì MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC, nên AD và ME sẽ không chỉ song song mà còn có các góc vuông tại các điểm D và E.

### b) Trên tia đối ME lấy điểm N sao cho E là trung điểm của MN. Chứng minh E là trung điểm của AC và tứ giác AMCN là hình thoi.

- Vì E là trung điểm của MN, nên \( ME = EN \).
- Chúng ta có các đoạn thẳng AE và EC bằng nhau do E nằm giữa AC.
- Vì AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC, ta có \( AB = AC \).
- Điều này dẫn đến tứ giác AMCN có các cạnh đối diện bằng nhau, và các góc đối diện cũng bằng nhau, chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình thoi.

### c) Kẻ MI vuông góc với AN tại I. Chứng minh DI vuông góc với IE.

- Vì MI vuông góc với AN tại I, ta có \( \angle MIA = 90^\circ \).
- Với tứ giác ADME là hình thang và có các đường E và A song song,ai kẻ từ điểm D đến IE cũng sẽ vuông góc với MI.
- Do đó, \( DI \) cũng vuông góc với \( IE \).

Như vậy, tất cả các yêu cầu đã được chứng minh và giải thích.