Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta sẽ tính tổng \( D \):

\[
D = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{59}
\]

Đây là một tổng của một cấp số nhân với số hạng đầu là 1, tỷ lệ là 4 và số hạng cuối là \( 4^{59} \). Công thức tính tổng của cấp số nhân là:

\[
S_n = \frac{a_1 (r^n - 1)}{r - 1}
\]

Ở đây \( a_1 = 1 \), \( r = 4 \) và số hạng cuối là \( 4^{59} \), số hạng thứ \( n \) là \( n = 60 \) ( vì có từ 0 đến 59 ). Thay vào công thức, ta có:

\[
D = \frac{1 \cdot (4^{60} - 1)}{4 - 1} = \frac{4^{60} - 1}{3}
\]

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra \( 21 \cdot 85D \) có chia hết cho \( 5 \):

\[
85 = 5 \cdot 17, \text{ vì vậy } 21 \cdot 85D = 21 \cdot 5 \cdot 17D
\]

Để dễ dàng phân tích tính chia hết của \( D \) cho các số nguyên, ta sẽ kiểm tra \( D \mod 5 \) trước.

**Bước 1: Tính \( D \mod 5 \)**

Áp dụng định lý số dư, ta có:

\[
4 \equiv -1 \mod 5
\]

Vì vậy, các số hạng của \( D \) trở thành:

\[
D \equiv 1 + (-1) + (-1)^2 + (-1)^3 + \ldots + (-1)^{59} \mod 5
\]

Số hạng cuối cùng của chuỗi này phụ thuộc vào \( 59 \) là số lẻ. Vậy ta có:

\[
D \equiv 30 \mod 5
\]
Số hạng lẻ là 30, và \( 30 \equiv 0 \mod 5 \)

Vậy, \( D \) chia hết cho \( 5 \).

**Bước 2: Tính \( D \mod 21 \)**

Phân tích \( 21 \) thành \( 3 \) và \( 7 \).

**Kiểm tra \( D \mod 3 \)**:

\[
4 \equiv 1 \mod 3
\]

Vậy,

\[
D \equiv 1 + 1 + 1 + \ldots + 1 = 60 \mod 3
\]

Số hạng lẻ \( D \equiv 0 \mod 3 \)

**Kiểm tra \( D \mod 7 \)**:

\[
4^1 \equiv 4, \quad 4^2 \equiv 2, \quad 4^3 \equiv 1 \mod 7
\]

Lặp lại chu kỳ: \( 1, 4, 2, 1, 4, 2 \). Tính tổng cho đủ 60 số hạng:

Có \( 60 \div 3 = 20 \) chu kỳ, mỗi chu kỳ tổng \( 1 + 4 + 2 = 7 \equiv 0 \mod 7 \)

Do đó, \( D \equiv 0 \mod 7 \)

Kết luận:
\( D \equiv 0 \mod 3 \) và \( D \equiv 0 \mod 7 \)

=> \( D \equiv 0 \mod 21 \)

Cuối cùng, \( 21 \cdot 85D \equiv 0 \mod 5 \) và \( 21 \cdot 85D \equiv 0 \mod 21 \)

=> Tóm lại, \( 21 \cdot 85D \) chia hết cho \( 5 \) và \( 21 \).

Vì vậy, \( 21 \cdot 85D \) chia hết cho \( 5 \) và \( 21 \).