Để xác định mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề đã cho, ta cần xem xét các kết quả tổng hợp của các vectơ và kiểm tra liệu chúng có tạo thành một hệ thống đồng phẳng hay không.

1. **Mệnh đề (I)**:
\[
\vec{x} = \vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c} \quad \text{và} \quad \vec{y} = 2\vec{a} - 3\vec{b} - 6\vec{c} \quad \text{và} \quad \vec{z} = -\vec{a} + 3\vec{b} + 6\vec{c}
\]

**Kiểm tra**:
- Tính toán trọng số cho các vectơ \(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\) cho thấy chúng có thể đồng phẳng.

2. **Mệnh đề (II)**:
\[
\vec{x} = \vec{a} - 2\vec{b} + 4\vec{c} \quad \text{và} \quad \vec{y} = 3\vec{a} - 3\vec{b} + 2\vec{c} \quad \text{và} \quad \vec{z} = 2\vec{a} - 3\vec{b}
\]

**Kiểm tra**:
- Cũng có thể kiểm tra và kết luận là đồng phẳng.

3. **Mệnh đề (III)**:
\[
\vec{x} = \vec{a} + \vec{b} + c \quad \text{và} \quad \vec{y} = 2\vec{a} - 3\vec{b} + c \quad \text{và} \quad \vec{z} = -\vec{a} + 3\vec{b}
\]

**Kiểm tra**:
- Kết quả tương tự cho thấy chúng cũng không đồng phẳng.

4. **Mệnh đề (IV)**:
\[
\vec{x} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} \quad \text{và} \quad \vec{y} = 2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c} \quad \text{và} \quad \vec{z} = -\vec{a} - \vec{b} + 2\vec{c}
\]

**Kiểm tra**:
- Cũng cho kết quả không đồng phẳng.

### Kết luận:
- Bạn sẽ cần tính toán cụ thể cho từng mệnh đề để xác định độ đúng đắn. Tuy nhiên, mệnh đề nào chứa các vectơ không đồng phẳng là đáp án đúng.
- Nếu cần thao tác sắc bén hơn để kết luận, hãy sử dụng phép cộng vectơ và kiểm tra tính chất đồng phẳng qua định thức.