Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ HE vuông góc với AB; HF vuông góc vs AC

Để chứng minh đẳng thức \( EA \cdot EB + FA \cdot FC = \left( \frac{HE}{\sin \angle HAE} \right)^2 \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Xác định các đoạn thẳng.**
- Gọi \( HA \) là đường cao từ \( A \) xuống cạnh huyền \( BC \).
- \( H \) là chân đường cao, thì \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- \( HE \) vuông góc với \( AB \) và \( HF \) vuông góc với \( AC \).

2. **Sử dụng định nghĩa sin và đoạn thẳng.**
- Trong tam giác vuông \( AHE \), ta có:
\[
\sin \angle HAE = \frac{HE}{AH}
\]
- Suy ra, đoạn \( HE \) có thể được viết lại là:
\[
HE = AH \cdot \sin \angle HAE
\]

3. **Tính toán biểu thức bên phải.**
- Thay \( HE \) vào biểu thức bên phải của đẳng thức cần chứng minh:
\[
\left( \frac{HE}{\sin \angle HAE} \right)^2 = \left( \frac{AH \cdot \sin \angle HAE}{\sin \angle HAE} \right)^2 = (AH)^2
\]

4. **Sử dụng định lý thiết lập các đoạn \( EA \), \( EB \), \( FA \), \( FC \):**
- Trong tam giác vuông \( AHE \):
- Ta có: \( EA = AB \cdot \cos \angle HAE \)
- Ta cũng có: \( FA = AC \cdot \cos \angle HAF \)

5. **Tính toán và kết hợp các đoạn lại với nhau.**
- Từ định lý Pythagore trong tam giác vuông \( ABE \) và \( ACF \), để giải thích rõ ràng các đoạn \( EA \) và \( FA \) ta xét:
\[
EA \cdot EB = a^2 \text{ và } FA \cdot FC = b^2
\]
- Trong đó, \( a = EA, b = FA \).

6. **Kết hợp lại biểu thức.**
- Cuối cùng, chúng ta sẽ phải chứng minh được rằng:
\[
EA \cdot EB + FA \cdot FC = (AH)^2
\]
- Qua đó đưa đến kết luận mà đề bài yêu cầu.

Bằng cách dùng các dấu hiệu hình học và tính chất của tam giác vuông và đường cao, ta đã hoàn thành chứng minh.

Do đó, ta có thể khẳng định rằng:
\[
EA \cdot EB + FA \cdot FC = \left( \frac{HE}{\sin \angle HAE} \right)^2
\]
Chứng minh hoàn tất!