Để chứng minh hai đường thẳng \( ax \) và \( by \) song song (\( ax \parallel by \)) dựa trên các hình vẽ đã cho, ta có thể sử dụng các định lý về góc.

### Hình 1
Trong hình 1, góc \( \angle ABC \) và góc bên ngoài \( \angle BCP \) là bù nhau. Nếu \( \angle ABC + \angle BCP = 180^\circ \), thì \( ax \parallel by \).

### Hình 2
Trong hình 2, góc \( \angle HCP = 30^\circ \) và \( \angle CPB = 150^\circ \). Cũng tương tự, nếu tổng của hai góc này bằng \( 180^\circ \), thì \( ax \parallel by \).

### Hình 3
Trong hình 3, góc \( \angle UMN = 125^\circ \) và góc \( \angle NMO \) sẽ là \( 55^\circ \) (bù nhau). Nếu tổng này là \( 180^\circ \), chứng tỏ \( ax \parallel by \).

### Hình 4
Trong hình 4, góc \( OQS \) và góc \( QSK \) đều là góc vuông (90 độ). Theo định lý về các góc kê nhau, điều này cho thấy rằng các đường thẳng cũng song song.

### Kết luận
Thông qua phân tích các góc tương ứng theo các định lý về đường thẳng song song, ta có thể kết luận rằng trong cả bốn hình vẽ, nếu các điều kiện về góc được thỏa mãn, thì \( ax \parallel by \).