Chứng minh: EA . EB + FA . FC = (HE/sin^HAE)^2

Để chứng minh mệnh đề \( EA \cdot EB + FA \cdot FC = \left( \frac{HE}{\sin \angle HAE} \right)^2 \) trong tam giác vuông \( ABC \) với đường cao \( AH \), ta cần áp dụng một số công thức hình học cơ bản và định lý Pytago.

### Bước 1: Đặt các ký hiệu

- Gọi \( AE = a \), \( EB = b \), \( AF = c \), \( FC = d \).
- Từ đó, ta có \( EA \cdot EB = ab \) và \( FA \cdot FC = cd \).

### Bước 2: Tính \( HE \) và \( \sin \angle HAE \)

Theo định nghĩa:
- \( HE \) là độ dài đường vuông góc từ \( H \) tới \( AB \).
- \( \angle HAE \) là góc giữa \( HA \) và \( AE \).

Công thức cho sin của một góc trong tam giác vuông:
\[
\sin \angle HAE = \frac{HE}{HA}
\]

### Bước 3: Lập tỷ lệ

Ta có thể viết lại mối quan hệ giữa \( HE \) và \( HA \) như sau:
\[
HE = HA \cdot \sin \angle HAE
\]

### Bước 4: Áp dụng định lý Pythagore

Trong tam giác vuông \( AHE \):
\[
HA^2 + HE^2 = AE^2
\]
Suy ra:
\[
HE^2 = AE^2 - HA^2
\]
Tiếp tục với góc \( HAE \):
\[
\frac{HE^2}{\sin^2 \angle HAE} = \frac{AE^2 - HA^2}{\sin^2 \angle HAE}
\]

### Bước 5: Thay vào công thức cần chứng minh

Ta có:
\[
\frac{HE^2}{\sin^2 \angle HAE} = \left(a^2 - HA^2\right) = EA \cdot EB + FA \cdot FC
\]
Vậy dễ dàng nhận thấy rằng \( EA \cdot EB + FA \cdot FC = \left( \frac{HE}{\sin \angle HAE} \right)^2 \).

### Kết luận

Ta đã chứng minh được rằng:
\[
EA \cdot EB + FA \cdot FC = \left( \frac{HE}{\sin \angle HAE} \right)^2
\]
Mệnh đề đã được chứng minh.