Để giải bài toán này, ta có:

1. **Cho cot α = -3√2** và **π/2 < α < π** (nghĩa là α nằm trong góc phần tư II).

2. **Tính sin α và cos α:**
\[
\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} = -3\sqrt{2}
\]
Từ đây, ta có:
\[
\cos α = -3\sqrt{2} \cdot \sin α
\]

Vì α nằm trong góc phần tư II, ta có **sin α > 0** và **cos α < 0**. Theo định luật Pytago:
\[
\sin^2 α + \cos^2 α = 1
\]
Thay giá trị của cos α vào:
\[
\sin^2 α + (-3\sqrt{2}\sin α)^2 = 1
\]
\[
\sin^2 α + 18\sin^2 α = 1
\]
\[
19\sin^2 α = 1 \implies \sin^2 α = \frac{1}{19} \implies \sin α = \frac{1}{\sqrt{19}}
\]
Vậy:
\[
\cos α = -3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{19}} = -\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}}
\]

3. **Tính tan(α/2) và cot(α/2)**:
Sử dụng công thức:
\[
\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos α}{\sin α} \quad \text{và} \quad \cot \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos α}{\sin α}
\]
Tính:
\[
\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}})}{\frac{1}{\sqrt{19}}} = \frac{1 + \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}}}{\frac{1}{\sqrt{19}}} = \sqrt{19}\left(1 + \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}}\right) = \sqrt{19} + 3\sqrt{2}
\]
\[
\cot \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}})}{\frac{1}{\sqrt{19}}} = \sqrt{19} \left(1 - \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}}\right) = \sqrt{19} - 3\sqrt{2}
\]

4. **Tính giá trị tan(α/2) + cot(α/2)**:
\[
\tan \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\alpha}{2} = \left(\sqrt{19} + 3\sqrt{2}\right) + \left(\sqrt{19} - 3\sqrt{2}\right) = 2\sqrt{19}
\]

Vậy, giá trị của \( \tan \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\alpha}{2} \) là \( 2\sqrt{19} \).