Để chứng minh rằng tổng \( S = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20} \) chia hết cho 5, chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

Tổng của một cấp số nhân có thể tính bằng công thức:

\[
S = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong trường hợp này, \( a = 2 \), \( r = 2 \) và số hạng cuối cùng là \( n = 20 \). Do đó tổng \( S \) có thể tính như sau:

\[
S = 2 \frac{2^{20} - 1}{2 - 1} = 2(2^{20} - 1) = 2^{21} - 2
\]

Tiếp theo, để kiểm tra xem \( S = 2^{21} - 2 \) có chia hết cho 5 hay không, chúng ta có thể xem xét \( S \mod 5 \).

Trước tiên, chúng ta sẽ tính giá trị của \( 2^{21} \mod 5 \). Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng định lý Fermat nhỏ, nói rằng nếu \( p \) là một số nguyên tố không chia hết cho \( a \), thì:

\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]

Trong trường hợp này, \( p = 5 \) và \( a = 2 \), vì vậy:

\[
2^{4} \equiv 1 \mod 5
\]

Tương ứng, chúng ta có thể tính \( 2^{21} \mod 5 \):

\[
21 \div 4 = 5 \quad \text{và dư} \quad 1
\]
Do đó:

\[
2^{21} \equiv 2^1 \equiv 2 \mod 5
\]

Tiếp theo, chúng ta tính \( S \mod 5 \):

\[
S = 2^{21} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 5
\]

Vì vậy, \( S = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20} \) chia hết cho 5.

Kết luận, ta đã chứng minh rằng tổng \( S \) chia hết cho 5.