Để giải bài toán, chúng ta có hai điều kiện chính:

1. \((x + y) \div (y + z) \div (z + x) = \frac{6}{7} \div 8\)
2. \(x + y + z = 42\)

Trước tiên, chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức bên trái ở điều kiện đầu tiên:

\[
\frac{6}{7} \div 8 = \frac{6}{7} \times \frac{1}{8} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}
\]

Do đó, điều kiện đầu tiên có thể được viết lại như sau:

\[
\frac{x + y}{y + z} \div (z + x) = \frac{3}{28}
\]

Chúng ta có thể viết lại điều này thành

\[
\frac{x + y}{(y + z)(z + x)} = \frac{3}{28}
\]

Khi đó, sẽ có:

\[
28(x + y) = 3(y + z)(z + x)
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng điều kiện thứ hai \(x + y + z = 42\), từ đó:

\[
z = 42 - (x + y)
\]

Chúng ta thay vào biểu thức đầu tiên:

\[
28(x + y) = 3\left(y + (42 - (x + y))\right)\left((42 - (x + y)) + x\right)
\]

Giải thích kỹ hơn:

- \(y + z = y + (42 - (x + y)) = 42 - x\)
- \(z + x = (42 - (x + y)) + x = 42 - y\)

Do đó, chúng ta sẽ có:

\[
28(x + y) = 3(42 - x)(42 - y)
\]

Tiếp theo, thay giá trị \(s = x + y\) thì \(z = 42 - s\) và có:

\[
28s = 3(42 - x)(42 - (s - x)) = 3(42 - x)(42 - s + x)
\]

Chúng ta tiếp tục với các biến này để tìm ra giá trị của \(x\), \(y\), và \(z\). Nhưng thay vào hệ phương trình này thường cần một số thao tác lâu dài, vì vậy ta có thể thử một số giá trị cho \(x\), \(y\), hoặc sử dụng máy tính để giải được dễ hơn.

Một số bước cuối cùng, ta sẽ tiếp tục với phương trình này cho đến khi giải xong để tìm ra giá trị \(x\), \(y\), và \(z\). Thử các giá trị cho \(x\) và \(y\).

Cuối cùng, kết quả sẽ là một bộ ba \(x\), \(y\), \(z\) kết thúc bằng:

\[
x + y + z = 42
\]

Và thay vào các biểu thức hợp lý ban đầu \(x, y, z\) mà thỏa mãn yêu cầu từ phát biểu ban đầu.