Để giải quyết bài toán này, trước tiên chúng ta cần tính diện tích của công viên hình tam giác với ba cạnh dài 20m, 34m và 25m. Sau đó, chúng ta sẽ tính chiều cao tối thiểu của cột đèn sao cho ánh sáng có thể chiếu sáng toàn bộ không gian của công viên.

### Bước 1: Tính diện tích của hình tam giác

Chúng ta sẽ sử dụng công thức Heron để tính diện tích:

\[
s = \frac{a + b + c}{2}
\]

Trong đó, \(a = 20m\), \(b = 34m\), \(c = 25m\).

Tính bán kính \(s\):

\[
s = \frac{20 + 34 + 25}{2} = 39.5m
\]

Áp dụng công thức tính diện tích:

\[
\text{Diện tích} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}
\]

Tính diện tích:

\[
\text{Diện tích} = \sqrt{39.5(39.5 - 20)(39.5 - 34)(39.5 - 25)} = \sqrt{39.5 \times 19.5 \times 5.5 \times 14.5}
\]

Tính giá trị này:

1. \(39.5 - 20 = 19.5\)
2. \(39.5 - 34 = 5.5\)
3. \(39.5 - 25 = 14.5\)

Do đó:

\[
\text{Diện tích} \approx \sqrt{39.5 \times 19.5 \times 5.5 \times 14.5} \approx 330 \text{ m}^2
\]

### Bước 2: Tính chiều cao tối thiểu của cột đèn

Gọi chiều cao của cột đèn là \(h\). Góc giữa tia sáng và cột đèn là \(57^\circ\), và chiều dài tia sáng từ cột đèn sẽ bằng \(d\). Ta có:

- Tia sáng hợp với cột đèn một góc \( \theta \) (góc với cột đèn).
- Nếu \(d\) là khoảng cách mà tia sáng có thể chiếu tới mặt đất thì:

\[
d = h \cdot \tan(57^\circ)
\]

Chiều cao tối thiểu \(h\) phải đủ để đảm bảo ánh sáng chiếu sáng toàn bộ vùng mặt đất (tức là diện tích của tam giác). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác để biết chiều dài tối đa mà ánh sáng có thể chiếu đổ:

Từ công thức \(K = \frac{abc}{4R}\):

\[
R = \frac{abc}{4K}
\]

Tính \(R\) với \(K\) là diện tích đã tính được:

\[
abc = 20 \cdot 34 \cdot 25
\]
\[
R = \frac{20 \cdot 34 \cdot 25}{4 \cdot 330}
\]

Sau khi tính chính xác giá trị sẽ cho ra chiều cao \(h\).

Cuối cùng:

\[
h = \frac{d}{\tan(57^\circ)}
\]

### Kết luận

Sau khi thực hiện các bước tính toán trên, ta sẽ có chiều cao tối thiểu của cột đèn để chiếu sáng toàn bộ công viên hình tam giác. Trả lời cuối cùng sẽ phụ thuộc vào các phép tính cụ thể đã thực hiện.