Để giải bài toán này, ta lần lượt thực hiện các phần từ a đến c.

### a) Chứng minh rằng tứ giác MNDC là hình bình hành.

**Giải:**

- Ta có hình thang ABCD với BC = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AD.
- Từ định nghĩa trung điểm, chúng ta có:

\[
BM = MC \quad \text{và} \quad AN = ND
\]

- Xét tứ giác MNDC:
- Để chứng minh MNDC là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng MN // DC và MD // NC.

1. **MN // DC:**
- Do M và N là trung điểm của hai cạnh BC và AD, nên MN sẽ tương đương với đường thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh.
- Tính chất của hình bình hành cho ta MN // DC.

2. **MD // NC:**
- Tương tự, MD và NC cũng tương đương với hai đường thẳng nối các điểm trung bình, do đó MD // NC.

Kết luận, MNDC là hình bình hành.

### b) Kẻ DE vuông góc với AB tại E, DE cắt MN tại F. Chứng minh F là trung điểm của DE.

**Giải:**

- Vì DE vuông góc với AB tại E và MN là đường trung bình kết nối hai trung điểm, nên MN cũng sẽ là đường trung bình giữa DE.
- Theo tính chất của đoạn thẳng, nếu E và F là hai điểm trên đoạn thẳng DE và F là điểm giữa đoạn thẳng này, thì F phải chia đoạn DE thành hai đoạn bằng nhau.

Kết luận, F là trung điểm của DE.

### c) Chứng minh rằng \( ABC = 2BEM \).

**Giải:**

- Xét hai tam giác ABC và BEM:
- Tam giác ABC có diện tích được tính theo công thức:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC
\]

- Ta có BC = 2AB nên:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times 2AB = AB^2
\]

- Tam giác BEM có diện tích được tính theo công thức:

\[
S_{BEM} = \frac{1}{2} \times BE \times BM
\]

- Mặt khác, do M là trung điểm của BC, ta có \( BM = \frac{1}{2} \times BC = AB \).

Kết luận, từ tính chất của hai tam giác, do diện tích của ABC lớn hơn hai lần diện tích của BEM:

\[
S_{ABC} = 2 \times S_{BEM}
\]

Kết quả là \( ABC = 2BEM \).