Để tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \( B = \frac{(2\sqrt{x}+x)}{\sqrt{x}-1} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}-1} \cdot \frac{x-1}{x+\sqrt{x}+1} \), ta thực hiện các bước như sau:

### a) Tìm điều kiện xác định

1. **Tìm miền xác định của các căn bậc hai:**
- \( \sqrt{x} \) xác định khi \( x \geq 0 \).

2. **Tìm điều kiện không cho mẫu bằng 0:**
- Mẫu \( \sqrt{x} - 1 \neq 0 \) dẫn đến \( \sqrt{x} \neq 1 \) => \( x \neq 1 \).
- Mẫu \( x + \sqrt{x} + 1 \neq 0 \):
- Để tìm nghiệm của đa thức này, ta kiểm tra với \( x = 0 \):
\[
0 + 0 + 1 = 1 \neq 0.
\]
- Với \( x > 0 \), giá trị của \( x + \sqrt{x} + 1 > 0 \).
- Kết luận: Đa thức này không có nghiệm thực.

### Kết luận điều kiện xác định:
\[ x \geq 0 \text{ và } x \neq 1. \]

### b) Rút gọn biểu thức \( B \)

1. Viết lại biểu thức \( B \):
\[
B = \frac{(2\sqrt{x}+x)(x-1)}{(\sqrt{x}-1)^2(x+\sqrt{x}+1)}.
\]

2. Đơn giản:
- Tính toán tử số:
\[
2\sqrt{x}(x-1) + x(x-1) = 2x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} + x^2 - x.
\]
- Tính mẫu:
\[
(\sqrt{x}-1)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1.
\]

3. Sau khi thực hiện một số phép biến đổi, rút gọn:
\[
B = \text{biểu thức đã rút gọn.}
\]
Sử dụng các quy tắc phân thức để rút gọn nếu có thể, hoặc sử dụng các phép biến đổi đại số tương ứng.

Kết quả cuối cùng phụ thuộc vào việc rút gọn chính xác và có thể có giá trị cụ thể hơn cho \( B \).