Hỏi n có thể bằng 2019 được hay không?

Để xem xét xem n có thể bằng 2019 hay không khi các số \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) nhận giá trị là 1 hoặc -1 và có điều kiện \( a_1 a_2 + a_2 a_3 + \ldots + a_n a_1 = 0 \).

Điều kiện trên có thể được viết lại thành một biểu thức tổng quát cho các tích của các cặp số liên tiếp trong dãy, cộng thêm tích của số đầu tiên và cuối cùng.

Theo điều kiện \( a_1 a_2 + a_2 a_3 + \ldots + a_n a_1 = 0 \):
- Mỗi sản phẩm \( a_i a_{i+1} \) (với \( a_{n+1} = a_1 \)) sẽ nhận giá trị 1 nếu \( a_i \) và \( a_{i+1} \) giống nhau (cùng bằng 1 hoặc cùng bằng -1), và sẽ nhận giá trị -1 nếu chúng khác dấu.

Nếu ta ghi lại số lượng các cặp có giá trị 1 và -1:
- Gọi \( k \) là số các cặp có giá trị 1 và \( m = n - 2k \) là số các cặp có giá trị -1. Ta có:
\[
k - m = 0 \implies k = m.
\]
Nghĩa là số cặp có giá trị 1 phải bằng số cặp có giá trị -1.

Từ đó, từ \( k + m = n \), ta có:
\[
2k = n \implies n = 2k.
\]
Điều này cho thấy \( n \) phải là một số chẵn.

Vì 2019 là một số lẻ, nên không thể tồn tại một dãy các số \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) với điều kiện đã cho để \( n = 2019 \).

Do đó, câu trả lời là: **n không thể bằng 2019.**