Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ đi từng bước:

### a) Chứng minh: DN = BM

1. Xét tam giác vuông ANC (vì AN vuông góc với BD).
2. Ta có AN = AC (cạnh đối diện của tứ giác ABCD).
3. Trong tam giác CNB, BM = AC (cạnh đối diện).
4. Do đó, DN = BM vì ANC là tam giác vuông và AC là cạnh chung.

### b) Chứng minh: tứ giác ANCM là hình bình hành

1. Theo giả thuyết, AN = CM (2 cạnh đối diện).
2. DN = BM (như đã chứng minh ở phần a).
3. Tứ giác ANCM có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau.
4. Vậy ANCM là hình bình hành theo tính chất của hình bình hành.

### c) Tìm điểm K sao cho NA = NK.

1. Từ N, vẽ một tia NA, chọn điểm K sao cho NA = NK.
2. Từ đó, xem xét tứ giác DKCB.
3. Tứ giác DKCB là hình gì? Vẽ sẽ thấy DKCB là hình thang cân, vì CD || BK và DK = CB.

### d) Tia AM cắt tia KC tại P.

1. Xét đường thẳng PN, AC, KM.
2. Ta biết PN // AC (cùng nằm trên một mặt phẳng) và KM // AC (do CM vuông góc với BD).
3. Do đó, PN, AC, KM đồng quy tại một điểm P (theo định nghĩa của đường đồng quy).

### Kết luận

Các bước chứng minh trên đây đã khẳng định các yêu cầu của bài toán.